高中数学2.3.2抛物线的简单几何性质课时示范课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件.pptx

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2.4.2抛物线的简朴几何性质(2)2.4抛物线

运用探照灯、汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新课导入。在前一节课学习抛物线的基础上,继续学习抛物线的通径和焦半径,直线与抛物线的位置关系等等.激发学生的数学应用意识.运用类比的思想,类比椭圆、双曲线的性质学习抛物线的通径和焦半径,直线与抛物线的位置关系.例1是有关抛物线的证明问题;例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题,运用根的鉴别式法;例3运用了设而不求和点差法。

方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO有关x轴对称 有关x轴对称 有关y轴对称 有关y轴对称(0,0)e=1

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都通过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论根据。

抛物线的通径和焦半径1.通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度:2PP越大,开口越开阔2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式:下面请大家推导出其它三种原则方程抛物线的焦半径公式。

xyO3.相交(一种交点,两个交点).直线与抛物线的位置关系问题1:直线与抛物线有如何的位置关系?1.相离;2.相切;与双曲线的状况一致

把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行(重叠)相交(一种交点)计算判别式0=00相交相切相离问题2:如何判断直线与抛物线的位置关系?

通过焦点的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦焦点弦公式:下面请大家推导出其它三种原则方程抛物线的焦点弦公式。B

方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO有关x轴对称 有关x轴对称 有关y轴对称 有关y轴对称(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

xyOABDFl例1、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。有关过焦点弦尚有一条性质,请大家思考:

xyOFABD

y2=4x

分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程构成的方程组的解的状况,由方程组解的状况判断直线l与抛物线的位置关系.?由方程组解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2).(1)当k=0时,由方程①得y=1

①①

①①

综上,我们可得:

变式训练:一个顶点在坐标原点,焦点在x轴上抛物线截直线2x-y-4=0所得弦长为,求抛物线的方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m≠0)(x2=my(m≠0)),可避免讨论

例3.正三角形的一种顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.分析:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则=2px1,=2px2,

故这个正三角形的边长为本题运用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质,但往往会直观上承认而无视了它的证明.

?A

2.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8 B.16C.32 D.61BC

直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行(重叠);相切:直线与抛物线有且只有一种公共点,且直线与抛物线的对称轴不平行(重叠);相离:直线与抛物线无公共点.

⑵直线与抛物线的位置关系的判断.把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行(重叠)相交(一种交点)计算判别式0=00相交相切相离

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