专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题3.1椭圆及其标准方程【六大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1椭圆的定义】 1

【题型2曲线方程与椭圆】 3

【题型3椭圆方程的求解】 5

【题型4动点轨迹方程的求法】 6

【题型5椭圆中的焦点三角形问题】 8

【题型6椭圆中的最值问题】 10

【知识点1椭圆的定义】

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a}.

【题型1椭圆的定义】

【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|=5，则|P

A．9 B．4 C．2 D．1

【解题思路】由椭圆定义可得PF

【解答过程】椭圆x249+y29=1中，a

?PF1+PF

故选：A.

【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】利用椭圆的定义有|AF1|+|AF

【解答过程】由椭圆方程知：a=3.根据椭圆的定义有|

因为|A

所以|A

故选：D.

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x29+y25=1，F1,F2分别是椭圆C的焦点，过点F

A．2 B．4 C．6 D．8

【解题思路】根据椭圆的定义可求AF1+AF

【解答过程】设椭圆x29+y2

由椭圆定义可得AF1+

又AF

所以AF

故选：D.

【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：x225+y29=1上一点，F1，

A．32 B．52 C．72

【解题思路】根据椭圆的定义写出PF1+P

【解答过程】根据P为椭圆C：x2

则有PF

又PF1=3

故选：B.

【知识点2椭圆的标准方程】

1．椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

椭圆在坐标

系中的位置

标准方程

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

2．椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A0,B0,A≠B)，再解答.

【题型2曲线方程与椭圆】

【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“1k5”是方程“x2k-

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条

【解题思路】根据椭圆的标准方程可得k-10,5-k0,k

【解答过程】若方程表示椭圆，则有k

因此1k5且

故“1k5”是“方程x2

故选：B.

【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程x2+ky2=2

A．k0 B．1k2 C．k

【解题思路】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】方程x2+ky2=2可变形为x2

易知当1k2时，k1，当k

所以1k2是k

故选：B.

【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1

A．a3 B．

C．a3或a-2 D．-

【解题思路】根据椭圆焦点在y轴上,可得a2a

【解答过程】解:由题知x2a2+

则有:a2

解得:-2a0

故选:D.

【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程x29-k+y

A．k∈1,9 B．椭圆C

C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D．若椭圆C的焦点在x

【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.

【解答过程】因方程表示椭圆，则有9-k0，k-10，且9-k

焦点在x轴上时，9-kk-10，解得k

焦点在x轴上时，则c2=9-k-k-1=10-2

故选：C.

【题型3椭圆方程的求解】

【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为0,-4，（0，4），且长半轴a=6的椭圆方程为（????

A．x236+

C．x236+

【解题思路】根据题意可知c=4,a=6，即可由b

【解答过程】因为c=4,a=6，所以b2