专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题3.2椭圆的简单几何性质【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1椭圆中x、y的取值范围】 1

【题型2根据椭圆的有界性求范围或最值】 3

【题型3椭圆的对称性的应用】 6

【题型4利用椭圆的几何性质求标准方程】 9

【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】 10

【题型6求椭圆的离心率或其取值范围】 12

【题型7根据椭圆的离心率求参数】 15

【题型8椭圆的实际应用问题】 16

【知识点1椭圆的范围】

1．椭圆的范围

设椭圆的标准方程为(ab0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.

(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.

【题型1椭圆中x、y的取值范围】

【例1】（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是-3,3．

【解题思路】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.

【解答过程】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆x2

所以点(m,n)满足椭圆的范围x≤

因此m≤3，即

故答案为：-3

【变式1-1】（2022·高二课时练习）设集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{

A．[－2，2] B．[0，2]

C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}

【解题思路】由椭圆的标准方程确定集合A，由二次函数性质确定集合A，然后由交集定义计算．

【解答过程】A={

B={

所以A∩

故选：B．

【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列关于曲线Γ:x2

A．曲线Γ是椭圆 B．y的取值范围是[-3,3]

C．关于直线y=x对称 D．曲线Γ

【解题思路】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得y4≤1，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线Γ

【解答过程】解：因为曲线Γ:

所以曲线Γ不是椭圆，故A正确；

因为曲线Γ:

所以y4≤1，所以y∈

曲线Γ:x29+

若曲线Γ:x2

则点0,3也在曲线Γ:

又09+9=9≠1，所以点0,3不在曲线

所以曲线Γ:x29+

对于D，曲线Γ:x2

则以±3,0,0,±1四点为顶点的四边形的面积为

所以曲线Γ所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.

故选：D.

【变式1-3】（2022·高二课时练习）讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．

(1)x

(2)4x

【解题思路】（1）由x24+y2

（2）化为标准式可得范围，描点可作图．

【解答过程】（1）

由x24+y2

（2）

由4x2+y2=1得

【题型2根据椭圆的有界性求范围或最值】

【例2】（2023·高二课时练习）已知椭圆x24+y2=1经过点

A．0,1 B．0,4 C．4,+∞ D．1,4

【解题思路】将点Pm,n代入x24

【解答过程】因为椭圆x24+y2=1经过点

则m2

因为椭圆x24+y2=1经过点

故m2+n

故选：D．

【变式2-1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a

A．322b B．2b C．

【解题思路】设M(x0,y0

【解答过程】由椭圆C的离心率e=63，可得a

设M(x0,y

又由点B0,-

可得MB2

因为-b≤y0≤

故选：A.

【变式2-2】（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆x216+y212=1的左顶点为A，右焦点为F

A．-16,0 B．

C．0,8 D．0,16

【解题思路】解法一：由题意可得，A-4,0，F2,0，设Mx0,y0.表示出MA?MF=14x

【解答过程】解法一：

由题意知A-4,0，F2,0

则MA?MF=-4-x0

因为x0216+y

所以0≤MA?

解法二：

由题意知A-4,0，

设Mx0,y0，取线段AF的中点N

则MA?MF=MA+MF2-MA

因为x0216+y

所以0≤MA

故选：D．

【变式2-3】（2022秋·高二课时练习）已知点P(x,y)是椭圆x

【解题思路】根据题意可知y2=12-3x24

【解答过程】解：因为点P(x,

所以y2

又|PA|=(

所以|PA|=(

设f(x)=

则f(

所以函数fx在区间[-4,4]

所以f(x)

所以14

所以函数点P到点A(3,0)的距离的取值范围[1,7]

【知识点2椭圆的对称性】

1．椭圆的对称性

(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(ab0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点

P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x