2.6函数连续性公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

§2.6函数的持续性2.6.1函数持续性的概念2.6.2函数的间断点2.6.3持续函数的运算法则2.6.4初等函数的持续性2.6.5闭区间上持续函数的性质1

可见,函数在点2.6.1函数持续性的概念定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数持续必须含有下列条件:存在;且有定义,存在;2

例1解3

例2证由定义1知4

对自变量的增量有函数的增量左持续右持续函数在点持续有下列等价命题:定义2:5

定义3：单侧持续定理6

例3解右持续但不左持续,7

持续函数与持续区间持续函数的图形是一条持续而不间断的曲线.例如,若在某区间上每一点都持续,则称它在该区间上持续,或称它为该区间上的持续函数.定义4:在闭区间上的持续函数的集合记作基本初等函数在定义区间内持续8

例.证明函数在内持续.证:即这阐明在内持续.同样可证:函数在内持续.9

在在2.6.2函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不持续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;定义5:10

间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中最少一种不存在,称若其中有一种为振荡,称若其中有一种为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.11

为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:12

显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.13

注意不要觉得函数的间断点只是个别的几个点.★在x=kπ各点处间断.14

2.6.3持续函数的运算法则定理1：在某点持续的有限个函数经有限次和,差,积,(运用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,成果仍是一种在该点持续的函数.定理2：持续函数的复合函数是持续的.定理3：持续单调递增函数的反函数(递减).(证明略)递增(递减)也持续单调在上持续单调递增,其反函数在上也持续单调递增.又如,例如,在上持续单调递增，其反函数在[－1,1]上也持续单调递增.15

2.6.4初等函数的持续性基本初等函数在定义区间内持续持续函数经四则运算仍持续持续函数的复合函数持续一切初等函数在定义区间内持续例如,的持续区间为(端点为单侧持续)的持续区间为的定义域为因此它无持续点而16

初等函数在定义区间内能够运用持续性求极限即直接代入法17

例6求解:原式阐明:若则有18

2.6.5闭区间上持续函数的性质定义6:例如,19

注意:若函数在开区间上持续,结论不一定成立.在闭区间上持续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,定理5(最大值和最小值定理)20

例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,推论：由定理1可知有证:设上有界.在闭区间上持续的函数在该区间上有界.21

定理6（介值定理）几何解释:推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.22

几何解释:定义:23

例1证由零点定理,24

例2证由零点定理,辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求25

例3证由零点定理知总之26

内容小结左持续右持续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限最少有一种不存在在点间断的类型在点连续的等价形式27

基本初等函数在定义区间内持续持续函数的四则运算的成果持续持续函数的反函数持续持续函数的复合函数持续初等函数在定义区间内持续阐明:分段函数在界点处与否持续需讨论其左、右持续性.3.初等函数持续性4.四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．持续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．28

备用题拟定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.29