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常见的建立数学模型的方法

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，

在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第

一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非

常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起

参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国

普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问

题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，

数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学

模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领

域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。

常见的建立数学模型的方法1

原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物

或对象。

模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部

分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了

不同的目的可以有多种不同的模型。

数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目

的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用

数学工具建立起来的一个数学结构。

数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实

的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表

示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型

的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方

法。

二、教学模型的分类

数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，

按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代

数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概

率模型、图论模型、决策模型等。

常见的建立数学模型的方法3

1.类比法

数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用

数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什

么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在

具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对

各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知

关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似

的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题

的数学方法，最终建立起解决问题的模型。

2.量纲分析法

量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一

种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐

次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通

过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和

便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、

温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、

H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐

次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无

量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度

将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效

果。

3.差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程

中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建

立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代

数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开

方法。其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差

分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前

两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过

对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的

差分计算格式。

差分法的求解步骤是:建立微分方程；构造差分格式；求解差

分方程；准确性分析和检查。

4.变分法

变分法是函数的数学领域处理函数，即泛函问题，相对于普

通的函数微积分处理数字。这样的泛函可以通过对未知函数及

其导数积分来构造，最终的函数就是极值函数。现实中的许多

现象都可以表示为泛函极小化问题，即变分问题。解决变分问

题通常有两种方法:经典变分法和最优控制论。受基础知识的

限制，数学建模竞赛大专的建模方法较少使用变分法。

5.图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法。图论建模是指对

一些抽象的事物进行抽象和简化，并用图形描述其特征和内在

联系的过程。图论是研究用线连接的点集的理论。图中的节点

表示对象，两点之间的连接表示两个对象之间存在一定的关系

(顺序关系、输赢关系、传递关系、连接关系等