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应用多元统计分析
第六章部分习题解答
1
第六章聚类分析
6-1证明下列结论:
(1)两个距离的和所组成的函数仍是距离;
(2)一个正常数乘上一个距离所组成的函数
仍是距离;
设为一个距离为常数则d
(3)d,c0,d*
仍是一个距离;dc
(4)两个距离的乘积所组成的函数不一定是
距离;
证明:(1)设d(1)和d(2)为距离,令dd(1)d(2).
以下来验证d满足作为距离所要求的3个条件.
2
第六章聚类分析
①(1)(2)
dijdijdij0,且仅当X(i)X(j)时dij0;
②(1)(2)(1)(2)
dijdijdijdjidjidji,对一切i,j;
③(1)(2)(1)(1)(2)(2)
dijdijdijdikdkjdikdkj
dikdkj,对一切i,k,j.
(2)设d是距离,a0为正常数.令d*=ad,显然
有①**
dijcdij0,且仅当X(i)X(j)时dij0;
②**
dijcdijcdjidji,对一切i,j;
3
第六章聚类分析
③*
dijcdijc(dikdkj)cdikcdkj
**
dikdkj,对一切i,k,j.
故d*=ad是一个距离.
(3)设d为一个距离,c0为常数,显然有
①*dij*
dij0,且仅当X(i)X(j)时dij0;
dijc
dd
②*ijji*
dijdji,对一切i,j;
dijcdjic
4
第六章聚类分析
d
③*ij11
dij
dijc1c/dij1c/(dikdkj)
dddd
ikkjikkj
dikdkjcdikdkjcdikdkjc
dikdkj
(因dik0,dkj0)
dikcdkjc
**
dikdkj对一切i,k,j.
故d*是一个距离.
5
第六章聚类分析
(4)设d(1)和d(2)是距离,令d*d(1)d(2).
d*虽满足前2个条件,但不一定满足三角不等式.
下面用反例来说明d*不一定是距离.
(1)(2)*2
设dijdijX(i)X(j)(m1),则dijX(i)X(j
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