2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章　§3.7　利用导数研究函数的零点.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第三章

§3.7利用导数研究函数的零点

课标要求

函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数

零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，

以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴

题出现.

题型一利用函数性质研究函数的零点

x

例1(2023·辽宁实验中学模拟)已知函数f(x)＝ecosx.

x

由题得f′(x)＝e(cosx－sinx)

2

4

e

2

则h′(x)＝a(cosx－xsinx)，

令φ(x)＝cosx－xsinx，

当x∈(0，x)时，φ(x)0，

0

即h′(x)0，h(x)在区间(0，x)上单调递增；

0

思维升华

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最

值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过

数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

跟踪训练1(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－1)lnx＋－2，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

若a≤0，则f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围.

结合函数的单调性可知，f(x)有唯一零点.

综上，a≤0或a＝1或a＝e.

题型二数形结合法研究函数的零点

21－x

例2(2023·安庆模拟)已知函数f(x)＝alnx＋bxe，a，b∈R.e＝2.71828….

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程是y＝x＋ln2，求a和b的值；

由题意得，f(2)＝aln2＋4be－1，

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程是y＝x＋ln2，

所以f′(2)＝1，f(2)＝2＋ln2，

(2)若a＝e，讨论导函数f′(x)的零点个数.

2

解方程x－5x＋4＝0得，x＝4，x＝1，

12

因此函数g(x)在(0,1)和(4，＋∞)上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，

当x→2＋时，g(x)→＋∞，当x→2－时，g(x)→－∞，

当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.

g(x)的大致图象如图所示.

即函数f′(x)有两个零点；

即函数f′(x)没有零点.

思维升华

含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则

可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图

象特征求参数的范围或判断零点个数.

2

跟踪训练2(2024·厦门模拟)设函数f(x)＝lnx－ax－bx(a，b∈R).

(1)当a＝2，b＝1时，求函数f(x)的单调区间；

依题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，