2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第三章

§3.5利用导数研究恒(能)成立问题

课标要求

恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问

题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查

分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度

略大.

题型一分离参数求参数范围

x

例1已知函数f(x)＝e－ax－1.

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；

x

当a＝1时，f(x)＝e－x－1，

x

所以f′(x)＝e－1，

当x0时，f′(x)0；当x0时，f′(x)0，

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值.

即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极

小值为0，无极大值.

2

(2)若f(x)≤x在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围.

2

因为f(x)≤x在(0，＋∞)上有解，

x2

所以e－x－ax－1≤0在(0，＋∞)上有解，

由(1)知当a＝1，x0时，f(x)f(0)＝0，

x

即e－(x＋1)0，

所以当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以当x＝1时，g(x)min＝e－2，所以a≥e－2，

综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞).

思维升华

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

x

当a＝1时，f(x)＝x－e，

x

则f′(x)＝1－e，

当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0，

所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值.

x

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e成立，求实数a的取值范围.

x

若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e成立，

题型二等价转化求参数范围

例2(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

①当a≤0时，f′(x)0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋

1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取值范围.

∵x＝1为函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，

∴a＝1.

f(x)＝x－lnx，x[f(x)－x＋1]＝x(1－lnx)，

当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)⇔x(1－lnx)≤m(e

－x)，

即x(1－lnx)－m(e－x)≤0，

令g(x)＝x(1－lnx)－m(e－x)，x∈[e，＋∞)，

则g′(x)＝m－lnx，

若m≤1，g′(x)≤0在[e，＋∞)上恒成立，

则g(x)在[e，＋∞)上单调递减，

∴