2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第七章　§7.10　立体几何中的动态、轨迹问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第七章

§7.10立体几何中的动态、轨迹问题

重点解读

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了

一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活

力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋

多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面

积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

题型一平行、垂直中的动态轨迹问题

例1如图，在棱长为a的正方体ABCD－ABCD

1111

中，E，F，G，H，N分别是CC，CD，DD，CD，

1111

BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，

若MN∥平面ABD，则点M轨迹的长度是

1

√

连接HN，GN(图略)，

∵在棱长为a的正方体ABCD－ABCD中，E，F，G，H，N分别是

1111

CC，CD，DD，CD，BC的中点，则GH∥BA，HN∥BD，

11111

又GH⊄平面ABD，BA⊂平面ABD，

111

∴GH∥平面ABD，

1

同理可证得NH∥平面ABD，

1

又GH∩HN＝H，GH，HN⊂平面GHN，

∴平面ABD∥平面GHN，

1

又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，

MN∥平面ABD，

1

则点M在线段GH上运动，即满足条件，

思维升华

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，

结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向

量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

跟踪训练1正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，

动点P在正四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的

周长为

√

如图，设AC，BD交于O，连接SO，

由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD，

因为AC⊂平面ABCD，故SO⊥AC.

又BD⊥AC，SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，

故AC⊥平面SBD.

由题意，PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥

S－ABCD的交线，即平面EFG，则AC⊥平面EFG.

由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG，

又由面面平行的性质可得EG∥SB，GF∥SD，EF∥BD，

又E是边BC的中点，故EG，GF，EF分别为△SBC，

△SDC，△BCD的中位线.

题型二距离、角度有关的动态轨迹问题

例2已知长方体ABCD－ABCD的外接球的表面积为5π，AA＝2，点

11111

P在四边形AACC内，且直线BP与平面AACC所成的角为，则长方体

1111

的体积最大时，动点P的轨迹长为

√

因为长方体ABCD－ABCD的外接球的表面积为5π，设外接球的半

1111

径为R，

如图，设AC，BD相交于点O，

因为BO⊥AC，BO⊥AA，AC∩AA＝A，AC，AA⊂平面AACC，