高中数学必修22.3.2平面与平面垂直的判定市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件.pptx

2.3.2平面与平面垂直的鉴定

1.理解二面角及其平面角的概念.

2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.

3.理解并掌握两个平面垂直的鉴定定理,并能解决有关面面垂直的问题.

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1.二面角

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名师点拨1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一拟定的,与选择棱上的点的位置无关.

2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一种平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.

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【做一做1-1】在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须含有的条件是()

A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β

B.AO⊥l,BO⊥l

C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β

D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β

解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.

答案:D

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【做一做1-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一种平面角为.

解析:由于AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,因此∠A1AD是二面角A1-AB-D的一种平面角,同理∠B1BC也是它的一种平面角.

答案:∠A1AD(或∠B1BC)

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2.平面与平面垂直

(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.

(2)画法:两个互相垂直的平面普通把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.

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(3)鉴定定理

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名师点拨平面与平面垂直的鉴定定理告诉我们,能够通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.普通我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此解决面面垂直问题(即空间问题)转化为解决线面垂直问题,并进一步转化为解决线线垂直问题(即平面问题)来解决.

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【做一做2-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面的个数是()

A.1 B.2

C.3 D.4

解析:与平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1.

答案:D

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【做一做2-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.

证明:由于BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,

因此BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,

因此平面ABCD⊥平面BDD1B1.

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1.理解二面角及其平面角

剖析:(1)二面角是一种空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.

(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范畴是0°≤θ≤180°.

(3)两个平面相交,能够构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.

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2.解决翻折问题的核心

剖析:解决翻折问题的核心是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和有关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了如何的变化,尚有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.

例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图②.下面探讨平面BA1E与否与平面BEP垂直.

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根据图①,由平面几何的知识,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在图②中,这两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形ABC的边长为3,则在图③中,取BE的中点D,连接DF.

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由于AE∶EB=CF∶FA=1∶2,因此AF=AD=2.

而∠A=60°,因此△ADF为正三角形.

又AE=DE=1,

因此EF⊥AD.则在图②中,A1E⊥EF,BE⊥EF,

因此∠A1EB为二面角A1-EF-B的一种平面角.

因此∠A1EB=90°.因此A1E⊥BE.

又BE∩EF=E,因此A1E⊥平面BEP.

由于A1E⊂平面BA1E,因此平面BA1E⊥平面BEP.

题型一

题型二

【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的平面角.

解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,因此BC⊥平面D1C.

又D1C