《离散型随机变量的方差》同步学案(学生版) (1).docxVIP

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《离散型随机变量的方差》同步学案

情境导入

甲、乙两名工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用表示的分布列如下:

从均值看,各是多少?如何比较甲、乙两名工人的技术?

自主学习

自学导引

1.一般地,若离散型随机变量的分布列如下:

则称______为随机变量的方差,有时也记为.

2.______称为随机变量的标准差,记为.

3.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的_______,反映了随机变量取值的_______.

方差或标准差越______,随机变量的取值越集中;方差或标准差越______,随机变量的取值越分散.

4.方差的性质

若均为常数,则________,______,_______.

预习测评

1.已知随机变量的分布列为,则()

A.6

B.9

C.3

D.4

2.已知随机变量的分布列如下,则()

A.0.95

B.3.2

C.0.7

D.3.56

3.已知离散型随机变量的方差为1,则_____.

4.已知某运动员的投篮命中率为0.6,一次投篮命中次数的方差是______.

新知探究

探究点1离散型随机变量的方差和标准差

知识详解

1.离散型随机变量的方差的定义

一般地,若离散型随机变量的分布列如下:

则称为随机变量的方差,有时也记为.

2.标准差

称为随机变量的标准差,记为.

说明:随机变量的方差与标准差都可以度量随机变量与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.

典例探究

例1编号分别为的三位学生随意入座编号分别为的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,求.

解析:首先确定的取值,求出的分布列,然后求出的值,进而求出的值.

变式训练1已知离散型随机变量的分布列如下,求:

(1)常数的值;

(2).

探究点2离散型随机变量的方差的性质

知识详解

离散型随机变量的方差的性质:

若是两个离散型随机变量,且,则有.

特别地:

(1)当时,,即常数的方差为0.

(2)当时,,即随机变量与常数之和的方差等于的方差.

(3)当时,,即常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量的方差的乘积.

典例探究

例2袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个.现从袋中任取一球,表示所取球的标号.

(1)求的分布列、均值和方差;

(2)现有另一随机变量,若,,试求的值.

变式训练2已知随机变量的分布列如下:

则的最大值为()

A.

B.3

C.6

D.5

探究点3离散型随机变量方差的实际应用

知识详解

1.实际问题中的方差问题

方差在生活中有着广泛的应用,如成绩预测、消费预测、工资收益等,都可以通过随机变量的均值和方差来进行估计.

2.与方差有关的实际问题的解答步骤

(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些;

(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值和方差;

(3)对照实际意义,回答概率、均值和方差等所表示的结论.

典例探究

例3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中环的概率分别为,乙射中环的概率分别为,0.2.

(1)求的分布列;

(2)求的均值与方差,并以此比较甲、乙两名射手的射击水平.

变式训练3有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度.其中,分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度,其分布列分别如下:

在使用时要求抗拉强度不低于120,试比较甲、乙两种建筑材料哪一个的稳定性较好.

易错易混解读

例已知随机变量的分布列为

且,求.

课堂检测

1.已知随机变量的分布列为,则()

A.

B.

C.4

D.5

2.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分的分布列分别为

现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()

A.甲

B.乙

C.甲、乙均可

D.无法确定

3.随机变量满足分布列如下:

则随着的增大()

A.增大,越来越大

B.增大,先增大后减小

C.减小,先减小后增大

D.增大,先减小后增大

4.已知随机变量的分布列如下,表示的方差,则______.

5.两封信随机投入三个空邮箱中,则邮箱的信件数的方差_________.

课堂小结