专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（解析版）.docxVIP

专题01相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．

A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1.“A”字模型

【模型解读与图示】

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1图2图3

1）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).

2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).

3）同向双“A”字模型

条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?

例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（????）

??

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时，，得到,推出，④正确．

【详解】∵中，，，∴，

由作图知，平分，垂直平分，∴，，

∴，∴，∴，∴，①正确；

，∴，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，②正确；

设，，则，，∴，

∵，∴，∴，∴，

∵，∴，即，③错误；

当时，，∵，∴,

∴，④正确∴正确的有①②④，共3个．故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．

例2．（2022·重庆九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若

【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，

又∵ADAC=DFCG，∴△

（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC

例3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．

【答案】

【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．

【详解】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，

∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，

∴，即，∴，

∴AD+BE=AB-DE==，

∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，

∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==，

在△BEF中，，即，

解得：x=或（舍），∴EF=，故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．

例4.（2023·江苏九年级期中）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．

【答案】（1）4；（2）

【解析】解：（1）∵平分，，∴．

在中，，，，∴．

在中，，，，∴．∴．

∵，∴∴．∴．

∵点是线段的中点，∴．

∵，∴∴．∴．

∵，∴∴∴．

例5.（2022?安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，D