专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（解析版）.docxVIP

专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型

相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）

【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）（直角型）（钝角型）

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.

2）一线三等角模型（异侧型）

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.

3）一线三等角模型（变异型）

图1图2图3

①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.

②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.

例1．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=．

【答案】2.4

【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．

【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，

∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，

∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，

∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，

∴，即，∵等边△ABC的边长为6，

∴，解得：．故答案为：2.4

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．

例2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，为边上的动点，当时，．

??

【答案】或

【分析】根据相似三角形的性质得，再将相关的数据代入得，再计算即可．

【详解】解：，，

，，，，

解得或．故答案为：或．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．

例3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．

（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）

【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．

【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，

（2）结论仍然成立，理由如下，，

又，，

，设，，

，，∴ADBC=APBP，

（3），，，，，

是等腰直角三角形，，，，

，，，，

,，，，．

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．

例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

????

问题探究：(1)先将问题特殊化