专题09 数列小题综合（解析版）_1.docxVIP

专题09数列小题综合

冲刺秘籍

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等差数列通项公式：或

等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项

若，为等差数列，则，仍为等差数列

等差数列前n项和公式：或

等差数列的前项和中，，（为奇数）

等比数列通项公式：

等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项

若，为等比数列，则，仍为等比数列

等比数列前项和公式：

已知与的关系

分组求和

若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和

裂项相消求和

冲刺训练

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一、单选题

1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.

【详解】设等差数列的公差为，则，

故，故，

故选：A.

2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据条件，利用等比数列的定义得到数列为等比数列，从而求出通项，利用通项即可求出结果.

【详解】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，

所以为常数，又，

所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，

所以，

所以，

故选：C．

3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（????）

A．40 B．81 C．121 D．156

【答案】C

【分析】设出公比，列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案.

【详解】设公比为，

由可得，，

因为，所以，因为，解得，

所以，所以.

故选：C.

4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，可得是以6为周期的周期数列，然后求解即可．

【详解】由题意有，且，

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，

则，，，，，，，，，

则数列是以6为周期的周期数列，

则，

则数列的第100项为3，

故选：．

5．（2023·重庆巴南·统考一模）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（????）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值.

【详解】∵数列的前项积，

当时，，

当时，，

，

时也适合上式，

∴，

∴当时，数列单调递减，且，

当时，数列单调递减，且，

故的最大值为，最小值为，

∴的最大值与最小值之和为2.

故选：C.

6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．若数列是等比数列；，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合等比数列性质，判断命题之间的逻辑推理关系，即得答案.

【详解】若是等比数列，设公比为k，则，

，

于是，

即成立；

若，

取，显然不是等比数列，故是的充分不必要条件．

答案：A

7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用分组求和法求出，进而得，从而得，利用导数研究其单调性求解.

【详解】等比数列满足各项均为正数，，

则的公比为，，

，

，

；，

当时，，

令，，

令，，

当时，，即为增函数，故，

即当时，为增函数，故，

则单调递增，，时，

综上，则的取值范围为.

故选：A.

8．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（????）

A．366 B．367 C．368 D．369

【答案】A

【分析】把前项拆开成第项，后项，根据数列是等差数列，可将后面的项每项一个分组进行分组求和.

【详解】设，由题意是公差为的等差数列，则，

故，则，

故

于是

.

故选：A

9．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，，则（????）

A．80 B．160 C．121 D．242

【答案】D

【分析】由，得（），两式相减可求了公比，再将代入中化简可求出，从而可求出.

【详解】由，得（），

所以，得，

所以等比数列的公比为，

所以由，得，

所以，解得，

所以，

故选：D

10．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知数列满足：，，则数列的前项的和为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对的分类讨论，令可得，，进行归纳可得规律，，再进行求和即可得解.

【详解】由，，

令、、、，，

可得，，

两式相加可得，