专题07 三角形中的特殊模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（解析版）.docxVIP

专题07.三角形中的特殊模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）

模型1、平分平行（射影）构等腰

1）角平分线加平行线必出等腰三角形．

模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

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图1图2图3

条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．

→图4

条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.结论：三角形CEF是等腰三角形。

例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则．

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【答案】25度/

【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．

【详解】∵，∴，由题意可知：平分，

∴．故答案为：．

【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．

例2．（2023·浙江·八年级期中）如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．

【答案】13

【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.

【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，

由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，

∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·

又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．

例3．（2023·广东·八年级期末）如图，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．

【答案】1

【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，

则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案为：1．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．

例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________．

【答案】4cm；4cm．

【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证；

由角度分析易知，即，则有；

又可证，则，则，．

【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．

模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型

1）内角平分线定理

图1图2图3

条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。结论：

2）外角平分线定理

条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交B