专题26 导数大题综合（解析版）_1.docxVIP

专题26导数大题综合

冲刺秘籍

冲刺秘籍

导函数与原函数的关系

单调递增，单调递减

极值

极值的定义

在处先↗后↘，在处取得极大值

在处先↘后↗，在处取得极小值

两招破解不等式的恒成立问题

(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

常用函数不等式：

①，其加强不等式；

②，其加强不等式.

③，，

放缩

，

利用导数证明不等式问题：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.

证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：

（1）证明（或）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（2）证明（或）（、都为正数）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

冲刺训练

冲刺训练

一、解答题

1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.

(1)求函数在区间上的最小值；

(2)判断函数的零点个数，并证明.

【答案】(1)

(2)有个零点，证明见解析

【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.

（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.

【详解】（1）的定义域为，故，

令，，

当时，，

所以在上单调递减，且，

，

所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使

又当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，，

所以函数在区间上的最小值为.

（2）有个零点，证明如下：

因为，，

若，，

所以在区间上单调递增，又，，

结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，

若，则，则，

若，因为，所以，

综上，函数在有且仅有一个零点.

2．（2023·江苏常州·校考一模）已知函数.

(1)若，求的值；

(2)证明：当时，成立.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）解法一：根据，可得是的极小值点求出，再利用导数检验即可；解法二：求出，分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；

（2）当时，设，利用导数判断出单调性可得答案.

【详解】（1）解法一：由，得，

又，所以是的极小值点，

故，而，故，

若，则，

当；当，

所以在单调递减，在单调递增，

故是唯一的极小值点，也是最小值点，

由，所以当且仅当时，

解法二：由，得，又，

当时，有恒成立，所以在上单调递减，

又，则不成立，

当时，令，得，

则时，有时，有，

即在单调递减，在单调递增，

所以的最小值为，

，

函数在单调递减，单调递增，

，当且仅当取等号，

故；

（2）当时，，

设，

当时，，

又由（1）知，故，

当时，，

设，则，

则在单调递增，，

所以，则在单调递增，

，

综上，，即当时，.

【点睛】思路点睛：在证明不等式时构造函数，利用导数判断出单调性结合最值的正负是常用的方法.

3．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）设函数，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.

(2)

【分析】（1）直接代入求导得，则得到其单调区间；

（2）将题目转化为，设，通过二次求导和零点存在定理得到导函数的零点，再利用隐零点法结合的最值即可得到答案.

【详解】（1）时，函数的定义域为，

因为，所以，当时，，当时，，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）函数的定义域为，

等价于，

设，则，

设，则恒成立，

所以在上单调递增，

即在上单调递增，当，当，

所以，使得，即，所以，

当时，，所以单调递减，

当时，，所以单调递增，

所以，

设，则，而恒成立，

所以为增函数，

由，所以.

因为均为减函数，所以在上为减函数，

所以，当时，，所以实数的取值范围为

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将题目转化为，再设新函数，通过求导和