北京市第十二中学2024-2025学年高二上学期10月练习数学试题(无答案).docxVIP

北京十二中2023级高二年级10月练习

数学

2024.10

本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回．

第一部分选择题（共60分）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1．过两点的直线的倾斜角为（）

A． B． C． D．

2．已知直线经过点，平面的一个法向量为，则（）

A． B． C． D．与相交，但不垂直

3．如图，平行六面体为的中点，，则（）

A． B． C． D．

4．设点在平面上的射影为，则等于（）

A． B．5 C． D．

5．在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）

①若，则；②若三个向量两两共面，则向量共面；

③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；

④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．已知向量，则“”是“或”的（）条件．

A．必要而不充分 B．充分而不必要 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知，若四点共面，则（）

A．9 B． C． D．3

8．设是空间不共面的四点，且满足，则是（）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定

9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图①），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图③所示的几何体、若图③中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是（）

A． B． C． D．

10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如上图，已知正八面体的棱长为分别为棱的中点，则直线和夹角的余弦值为（）

A． B． C． D．

11．在棱长为1的正方体中，点和分别是正方形和的中心，点为正方体表面上及内部的点，若点满足，其中，且，则满足条件的所有点构成的图形的面积是（）

A． B． C． D．

12．菱形的边长为为的中点，将（如图1）沿直线翻折至处（如图2），连接，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到直线的距离为（）

A． B． C． D．

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．

13．已知向量，且，则______．

14．已知为空间两两垂直的单位向量，且，则______．

15．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．

16．已知直线的斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．

17．长方体中，分别是棱的中点，是该长方体的面内的一个动点（不包括边界），若直线与平面平行，则的最小值为______．

18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）．给出下列四个结论：

①直线与所成角的大小为；

②；

③的最小值为；

④若，则点的轨迹所围成图形的面积是．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

19．（本小题10分）已知空间中三点，设．

（1）求；

（2）求向量与向量夹角的大小．

20．（本小题12分）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点．设．

（1）用表示，并求的值；

（2）求的值．

21．（本小题12分）如图，正方体棱长为2，点是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

22．（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

23．（本小题12分）设是元集合的子集，集合元素的个数记为，若集合组同时满足以下2个条件，则称集合组具有性质：

①为奇数，其中；②为偶数，其中．

（1）当时，集合组具有性质P，求的最大值，并写出相应集合组；

（2）当时，集合组具有性质P，求的最大值；

（3）是元集合的子集，若集合组具有性质P，求的最大值．