2.3.3 点到直线的距离公式（重难点突破）解析版_1_1.docxVIP

专题2.3.3点到直线的距离公式

知识点一：点到直线的距离公式

点到直线的距离为.

知识点诠释：

（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；

（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

例1、（1）、（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（????）

A．1 B．2 C．

【答案】A

【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.

【详解】，

故选：A

（2）、（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（????）

A．?5或?15 B．?5或15

C．5或?15 D．5或15

【答案】D

【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值.

【详解】因为点到直线的距离为1，

所以,解得或5.

故选:D.

【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）坐标原点O到直线l：的距离是（????）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】使用点到直线的距离公式求解.

【详解】O到直线l：的距离.

故选：D

【变式训练2-1】、（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的距离的最大值是．

【答案】

【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.

【详解】因为直线恒过点，

记，直线为直线，

则当时，此时点到直线的距离最大，

∴点到直线距离的最大值为：

.

故答案为：.

??

例2、（1）、（2021秋·吉林长春·高三校考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．

【答案】5

【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.

【详解】作出图示，

设点关于直线的对称点为，

在直线上取点，由对称性可得，

所以，

当且仅当A、、三点共线时，等号成立，

因此，“将军饮马“的最短总路程为.

故答案为：.

（2）、（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为．

【答案】

【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.

【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,

设关于直线的对称点，，解得；

由反射光线性质知

所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，

.

故答案为：.

（3）、（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解.

【详解】,

所以直线的直线方程为，

设关于直线对称的点是，

则有，即，

所以，即，

又因为的中点在直线上，

所以，即，

联立，解得，所以，

又有关于轴对称的点，

由对称性可知，均在直线上，

所以,

由点斜式得，即.

故选:D.

【变式训练2-1】、（2022秋·江苏扬州·高二仪征中学校考期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭?中庭?下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼?第二眼?第三眼?第四眼?第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为.

【答案】2.5cm/cm

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，

所以，

利用点斜式方程可得到直线：，整理为，

所以原点O到直线距离为，

故答案为：2.5cm.

【变式训练2-2】、（2021秋·高二单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能