第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质(原卷版)_1_1.docxVIP

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第02讲3.1.2椭圆的简单几何性质

课程标准

学习目标

①掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆中a,b,c,e的几何意义。

②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质,会用椭圆的几何意义解决相关问题。

③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系,会求直线与椭圆相交的弦长。

通过本节课的学习,要求掌握椭圆的几何量a,b,c,e的意义,会利用几何量之间的关系,求相关几何量的大小,会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。

知识点01:椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

()

()

范围

顶点

,,

轴长

短轴长=,长轴长=

焦点

焦距

对称性

对称轴:轴、轴对称中心:原点

离心率

【即学即练1】(2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习)若椭圆的离心率为,则椭圆的长轴长为.

【答案】或

【详解】因为椭圆的离心率为,易知,

当时,椭圆焦点在轴上,,,

所以,解得,则,所以椭圆的长轴长为.

当时,椭圆焦点在轴上,,,

所以,得,满足题意,

此时,所以椭圆的长轴长为.

故答案为:或.

知识点02:椭圆的简单几何性质

离心率:椭圆焦距与长轴长之比:.()

当越接近1时,越接近,椭圆越扁;

当越接近0时,越接近0,椭圆越接近圆;

当且仅当时,图形为圆,方程为

【即学即练2】(2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末)已知椭圆E:的右焦点为,左顶点为,若E上的点P满足轴,,则E的离心率为(????)

A. B. C. D.

【答案】A

【详解】设,则直线:,由,得,即,

??

而,,由,得,即,

有,又,因此,

所以E的离心率为.

故选:A

知识点03:常用结论

1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为:

2、有相同离心率:(,焦点在轴上)或(,焦点在轴上)

3、椭圆的图象中线段的几何特征(如下图):

(1);

(2),,;

(3),,;

知识点04:直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点);

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点);

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点.

【即学即练3】(2023春·江西吉安·高二校考期中)直线与椭圆的位置关系是(???)

A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定

【答案】C

【详解】联立,

所以方程有两个不相等的实数根,

所以直线与椭圆相交

故选:C.

2、直线与椭圆的相交弦

直线与椭圆问题(韦达定理的运用)

(1)弦长公式:若直线与圆锥曲线相交与、两点,则:

弦长

弦长

这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:

(2)结论1:已知弦是椭圆()的一条弦,中点坐标为,则的斜率为

运用点差法求的斜率,设,;、都在椭圆上,

两式相减得:,

即,故

结论2:弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值:

(3).已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,

.求:的面积(用、、表示).

设,由椭圆的对称性,不妨设,由椭圆的对称性,不妨设在第一象限.

由余弦定理知:·①

由椭圆定义知:②,则得

【即学即练4】(2023·全国·高三对口高考)通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于(????)

A. B.3 C. D.6

【答案】B

【详解】由题设,不妨设过焦点且垂直于x轴的直线,

代入椭圆方程得,可得,故被椭圆截得的弦长等于.

故选:B

题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质

【典例1】(2023春·上海杨浦·高二校考期中)椭圆与椭圆的(????)

A.长轴相等 B.短轴相等 C.焦距相等 D.长轴、短轴、焦距均不相等

【典例2】(2023秋·高二课时练习)已知P点是椭圆上的动点,A点坐标为,则的最小值为(????)

A. B. C. D.

【典例3】(2023秋·浙江湖州·高二统考期末)椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是(????)

A. B. C. D.

【变式1】(2023春·广东茂名·高二统考期末)已知椭圆的离心率为,下顶点为,点为上的任意一点,则的最大值是(????)

A. B. C. D.

【变式2】(2023·全国·高三专题练习)若椭圆的离心率为,则椭圆的长轴长为(????)

A.6 B.或 C. D.或

【变式3】(2023秋·高二课时练习)椭圆的焦距为4,则m的值为.

题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程

【典例1】(2023秋·新

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