第03讲 1.2空间向量基本定理（4类热点题型讲练）（解析版）_1_1.docxVIP

第03讲1.2空间向量基本定理

课程标准

学习目标

①理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义。

②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量。

③会用相关的定理解决简单的空间几何问题。

1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.

2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.

知识点01：空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得

2、基底与基向量

如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．

对基底正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．

【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（????）

????

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以，

所以，即，

又，

所以.

故选：D

??

知识点02：空间向量的正交分解

1、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．

2、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．

3、特殊向量的坐标表示

（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即

（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即

（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即

（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即

（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即

（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即

题型01空间向量基底的概念及辨析

【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；

因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；

因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；

因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.

故选：B.

【典例2】（多选）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】如图所示，令，则，又，

由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，

同理和也不共面.

故选：BCD

【变式1】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

【变式2】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（????）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；

因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，

若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；

故选：ACD

题型02用空间基底表示向量

【典例1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，，相交于，为的中点，设，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】??

如图所示，，

故选：C

【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【详解】因为，

所以，所以，所以，

所以，

故选：A.

【典例3】（2023·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足