专题10 动点产生的相似三角形问题（中考压轴题常考题）（解析版）.docxVIP

专题10动点产生的相似三角形问题（中考压轴题常考题）（解析版）

题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含因动点移动产生的相似三角形相关问题12道。

一、解答题

1．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点在轴上方的抛物线上，且，求点的坐标；

(3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据正切可得点坐标，根据待定系数法求出函数关系式即可；

（2）根据正切，可设点P的横坐标为x，则纵坐标为，根据图像上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程可得答案；

（3）根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于的方程，解之即可．

【详解】（1）解：令，则，

∴C点坐标为：，

,

∵

∴

∵在负半轴，

∴

把和代入得：

解得：

∴抛物线的函数表达式为：

（2）∵，

∴

∵点P在x轴上方

设点P的横坐标为x，则纵坐标为，

∴，

解得：(舍去)或

当时，

∴点P的坐标为；

（3）设点D的坐标为，

∵

∴

∴为的锐角三角形，

∴也是锐角三角形，

∴，

∴

∵

①当时，，则，

∴，即点，

②当时，，则，

∴，即点，

综上所述，或

【点睛】本题考查二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，三角函数，根据三角函数转化为线段的比值是解题的关键，注意分类讨论时不要遗漏情况．

2．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是，；

??

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P在x轴上方的抛物线上，且，求点P的坐标；

(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图像上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；

（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．

【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，

∴点C的坐标为，

∴，

∵，

∴，即点A的坐标为，

又∵，

∴，

解得，

∴抛物线的函数表达式是；

（2）解：∵，

∴，

∵点P在x轴上方，

设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为，

∴，

得（舍去）或，

当时，

∴点P的坐标为；

（3）解：如图，

??

设点D的坐标为，

∵，，

∴，

∴为的锐角三角形，

∴也是锐角三角形，

∴点D在点C的上方，

∴，

∴，

∵，，，

①如果，则，

∴，即点，

②如果则，

∴，即点．

综上分析可知：符合条件的点D的坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图像上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

3．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接，求证：；

(3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)或

【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出B和C的坐标，运用待定系数法求出二次函数的解析式；

（2）求出顶点D的坐标，然后求出，即可证明结论；

（3）求出直线的解析式，然后计算出点的坐标，然后分两种情况：和计算解题．

【详解】（1）解：当时，，

∴点C的坐标为，

令，则，解得，

∴点B的坐标为，

把，代入得

，解得：，

∴；

（2）解：，

∴点D的坐标为，

过点D作垂直于点F，连接，

则点F的坐标为，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴；

??

（3）设直线的解析式为，代入得：

，解得，

∴，

令，则，

∴点E的坐标为，

∴，

，，

，

∵，

∴当时，，

即，解得，

∴，

∴点P的坐标为，

当时，，

即，解得，

∴，

∴点P的坐标为，

综上所述，点P的坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数的图像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键．

4．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标；

(3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，