高考数学一轮总复习考点规范练24 三角函数模型的应用 (2).docVIP

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考点规范练24三角函数模型的应用

1.已知弹簧振子的振幅为2cm,在6s内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的()

A.频率为1.5Hz B.周期为1.5s

C.周期为6s D.频率为6Hz

答案:B

解析:振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期,故周期T=1.5s,频率f=1T

2.一个直径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A0,ω0),y0表示点P在水面下,则有()

A.ω=π15,A=3 B.ω=2π

C.ω=π15,A=6 D.ω=2π

答案:A

解析:由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为T=602=30s,所以ω=2π

3.如图,一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从点P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式是()

A.h(t)=-8sinπ6t+10

B.h(t)=-cosπ6

C.h(t)=-8sinπ6t+8

D.h(t)=-8cosπ6

答案:D

解析:设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,

A==10,ω=2πT=π

当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-π2

所以h=8sinπ6t-

4.如图,在平面直角坐标系Oxy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P绕原点按逆时针方向做角速度为π6

A.37.5分钟 B.40.5分钟

C.49.5分钟 D.52.5分钟

答案:A

解析:设圆O的半径为1,质点N的运动时间为t(单位:分钟),由题意可得,yN=sinπ6t-π2=-cosπ6t,yM=sinπ6(t+3)-π2=sinπ6t,则yM-yN=2sinπ6t+π4

故M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为3×12+32

5.(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标“12”的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d等于(),其中t∈[0,60].

A.10sinπt60 B.10cos

C.10cos(30-

答案:AC

解析:依题意作出图形,如图.

因为∠AOB=t60×2π=πt30,所以经过ts秒针转了

过点O作OD⊥AB于点D,∠AOD=12∠AOB=πt

在Rt△AOD中,有sinπt60

所以d=10sinπt60或d=10cosπ2-πt60

6.根据市场调查,某种商品一年内出厂单价在7000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0,|φ|π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低,为5000元,则7月份的出厂价格为

答案:6000

解析:作出函数简图如图,

三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知A=12×(9000-5000)=,B=7000,周期T=2×(9-3)=12,则ω=2π

将点(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π

故f(x)=sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*

即f(7)=×sin7π6

故7月份的出厂价格为6000元.