专题14 二次函数与菱形存在性问题（原卷版）.docxVIP

专题14二次函数与菱形存在性问题

解题点拨

【基本概念】

菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：

（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边都相等的四边形是菱形．

【解题技巧】

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．

【基本题型】

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点

（2）1个定点+3个半动点

【解题思路】

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1：先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．

思路2：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

【例题解析】

如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．

思路1：先平四，再菱形

设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．

（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）

，解得：

（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）

，解得：或

（3）当AD为对角线时，由题意得：

，解得：或

思路2：先等腰，再菱形

先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．

（1）当AB=AC时，

C点坐标为，对应D点坐标为；

C点坐标为，对应D点坐标为．

（2）当BA=BC时，

C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；

C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．

（3）AC=BC时，

C点坐标为，D点坐标为．

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．

直击中考

1．（四川德阳模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．

(3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；

(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．

3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；

（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；

（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴