专题14 二次函数综合题（解答题24题，中考压轴题）（原卷版）.docxVIP

专题14二次函数综合题（解答题24题，中考压轴题）（原卷版）

题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含二次函数综合题20道。

一、解答题

1．（2024上·上海长宁·九年级统考期末）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．

①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；

②如果，求点的坐标．

2．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；

(2)连接，试判断与是否相似，并说明理由；

(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式．

3．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践

九年级第一学期教材第2页

结合教材图形给出新定义

对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

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图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．

如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．

(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）

(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

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①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；

②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．

4．（2024上·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点．

①求的值；

②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标．

5．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．

(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；

(2)点在这个黄金抛物线上．

①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．

②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．

(1)求平移后抛物线的表达式；

(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；

(3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标．

7．（2024上·上海静安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．

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(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；

(2)如果射线平分，交轴于点，

①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；

②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．

8．（2024上·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．

(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标；

(3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．

9．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．

??????????????????????????????????备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F．

①如果，求的值；

②如果与相似，求m的值．