专题14 直角三角形中的分类讨论模型（原卷版）.docxVIP

专题14直角三角形中的分类讨论模型

模型1、直角三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。

1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。

2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成

方法：两线一圆

具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。

③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。

例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为时，此三角形是直角三角形．

例2．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（）

A． B． C．或 D．或

例3．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

例4．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是．

例5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．

例6.（2023·河南·三模）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为．

例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是．

例8．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．

(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？

(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？

(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？

例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）在中，，，点在上（不与点B，C重合）．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：；(2)若是直角三角形，求的长．

例10．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：．(2)当时，求的面积．(3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

??

例11．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】

如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．

【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；

【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

????

课后专项训练

1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（????）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P