专题15 勾股定理中的最短路径模型（解析版）.docxVIP

专题15勾股定理中的最短路径模型

勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圆柱中的最短路径模型

【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：

计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。

注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（????）

A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm

【答案】B

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．

【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长．

圆柱的底面周长是，高是，，．故选B．

【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

例2．（2023·重庆·八年级期末）如图，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在外侧距下底处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是______．

【答案】15

【分析】展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作于E，求出、，根据勾股定理求出SF即可．

【详解】解：如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，

过S作于E，则（），（），

在中，由勾股定理得：（），故答案为15．

【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．

例3．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（）m．

??

A．8 B．5 C．20 D．10

【答案】C

【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．

【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短，由图可知，，

∴由勾股定理得，，故选C．

??

【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题关键．

模型2.长方体中的最短路径模型

【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：

计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要cm．

【答案】

【分析】根据从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则展开后，，由勾股定理计算出的长，即可得到答案．

【详解】解：如图所示：

，

从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，展开后，，

由勾股定理得：，故答案为：．

【点睛】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是此题的关键．

例2．（2023·浙江·八年级假期作业）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为________米．

【答案】

【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．

【详解】解：平面展开图为：

（米），故答案为．

【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，