人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第16讲 5.3.2.1 函数的极值 （原卷版）.docVIP

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5.3.2.1函数的极值

课程标准

课标解读

1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.

2.掌握函数极值的判定及求法.

3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

4.能根据极值点与极值的情况求参数范围.

5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．

通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.

知识点1极值点与极值的概念

1．极小值点与极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

2．极大值点与极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．

【即学即练1】关于函数的极值，下列说法正确的是（）

A．导数为零的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值

D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数

【即学即练2】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()

A．1B．2C．3D．4

【即学即练3】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数SKIPIF10在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

知识点2求函数的极值

1．求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．

2．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)列表；

(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；

【即学即练4】已知函数SKIPIF10的导函数为SKIPIF10，则“SKIPIF10”是“函数SKIPIF10在SKIPIF10处有极值”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【即学即练5】求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝x2e－x.

【即学即练6】求下列函数的极值：

（1）f(x)＝SKIPIF10x3－x2－3x；（2）f(x)＝x4－4x3＋5；（3）f(x)＝SKIPIF10.

【即学即练7】函数SKIPIF10，则（）

A．x＝SKIPIF10为f(x)的极大值点 B．x＝SKIPIF10为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

考点一知图判断函数极值

解题方略：

解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．

【例1-1】函数y＝f(x)的导函