人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第17讲 5.3.2.2 函数的最大（小）值 （教师版）.docVIP

第

第PAGE1页共NUMPAGES33页

5.3.2.2函数的最大（小）值

课程标准

课标解读

1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.

2.会求某闭区间上函数的最值．

3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.

4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．

通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.

知识点1函数最值的定义

(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．

(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；

(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．

【即学即练1】如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．

【解析】由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)．

【即学即练2】设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()

A．f(x)的极值点一定是最值点

B．f(x)的最值点一定是极值点

C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点

D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点

【解析】根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．故选C

【即学即练3】下列结论正确的是()

A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得

D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值

【解析】函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．故选D

【即学即练4】已知函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上可导，则“函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上有最小值”是“存在SKIPIF10，满足SKIPIF10”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】SKIPIF10为开区间SKIPIF10最小值点一定是极小值点SKIPIF10极小值点处的导数值为SKIPIF10

SKIPIF10充分性成立

当SKIPIF10，SKIPIF10时，SKIPIF10，结合幂函数图象知SKIPIF10无最小值，必要性不成立

SKIPIF10“函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上有最小值”是“存在SKIPIF10，满足SKIPIF10”的充分不必要条件

故选：SKIPIF10

知识点2用导数求函数f(x)最值的基本方法

(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；

(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；

(3)列表：