人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第17讲 5.3.2.2 函数的最大（小）值 （原卷版）.docVIP

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5.3.2.2函数的最大（小）值

课程标准

课标解读

1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.

2.会求某闭区间上函数的最值．

3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.

4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．

通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.

知识点1函数最值的定义

(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．

(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；

(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．

【即学即练1】如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．

【即学即练2】设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()

A．f(x)的极值点一定是最值点

B．f(x)的最值点一定是极值点

C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点

D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点

【即学即练3】下列结论正确的是()

A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得

D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值

【即学即练4】已知函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上可导，则“函数SKIPIF10在区间SKIPIF10上有最小值”是“存在SKIPIF10，满足SKIPIF10”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

知识点2用导数求函数f(x)最值的基本方法

(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；

(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；

(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；

(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；

(5)求区间端点的函数值；

(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.

【即学即练5】求下列函数的最值：

(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．

【即学即练6】函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()

A．有最值，但无极值B．有最值，也有极值

C．既无最值，也无极值D．无最值，但有极值

考点一函数的最值与极值的关系

解题方略：

最值与极值的区别与联系

(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．

(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．

(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．

(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．

【例1-1】函数SKIPIF10的导函数SKIPIF10的图象如图所示，以下命题错误的是（）

A．SKIPIF10是函数SKIPIF10的极值点 B．SKIPIF10是函数SKIPIF10的最小值点

C．SKIPIF10在区间SKIPIF