人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第19讲 拓展二：含参函数的单调性、极值和最值讨论 (原卷版）.docVIP

第

第PAGE1页共NUMPAGES42页

拓展二：含参函数的单调性、极值和最值讨论

知识点1含参函数单调性的讨论

对含参函数单调性问题，求解的关键在于思考，相对于具体函数而言含参函数的不确定性在哪里？分类的逻辑是什么？分类的不同层次及各层次分类的依据又是什么？

1、对含参函数单调性的分析思路

(1)如何分析原函数的单调性？

答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.

(2)那如何分析导函数的正负性呢？。

答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).

(导函数看“零点”，原函数看单调性)

(3)那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？

答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：

①导函数是否存在零点；

②若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？

③零点是否在定义域内？

(4)怎么做到准确的分类讨论呢？

答：①熟悉模型，确定分类讨论的标准；

②做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.

2、常见的分类标准有哪些呢？

一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有：

（1）函数类型；（2）开口方向；（3）判别式；（4）导数等于0有根无根；（6）两根大小；（7）极值点是否在定义域内.

3、解含参函数单调性问题的通性通法

首先要明确题意，确定参数的范围和函数的定义域，其次按照导函数的类型、导函数是否存在零点、零点是否在定义域内、零点的大小进行分类讨论，最后进行整理和总结就能得到正确的结论.含参函数单调性问题的解决是层递进的，在递进的过程中，因参数在不同位置，使得问题的解决出现了不确定性，为了将不确定的问题转化为确定性的问题，需进行分类讨论.

讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，我们可按以下步骤进行：

以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）：

第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。

（1）偶次根式：根号下整体不小于0；（2）分式：分母不等于0；（3）对数：真数大于0.

第二步：求函数导数，导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型；（最高次幂的系数是否为0，即“零不零”）

第三步：令求出它的根，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。（导函数是否有变号零点，即“有没有”）

导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数；当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间；

（2）导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，且为变号零点，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性；(导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”)

（3）如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。

第四步：确定分类点：①是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的分类点。②，得到参数的分类点。③，得到参数的分类点。④，得到参数的分类点。

第五步：若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点.(导函数的变号零点之间的大小关系，即“比不比”)

第六步：判断分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。

以下三种常见方法可用来判断导数的正负：

（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。

第七步：综述，这是许多人往往忽视的一个步骤，少了这一步，会被扣分的。

4、各模型分类讨论的标准

分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.

“一次函数”型：

是否一次函数，直线斜率大于0还