专题28 二次函数与新定义创新问题（原卷版）.docxVIP

专题28二次函数与新定义创新问题

该专题是以二次函数为背景下的创新题型，这种题型往往阅读量较大，同学们在做题时，要仔细审题理解新定义，进而找到解题方法。

1．定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A1（a1，0），A2（a2，0），A3（a3，0），…An+1（an+1，0）（0＜a1＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a1＝___．

2．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．则抛物线与直线所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数有__________个；

3．（2022·江苏苏州·统考二模）定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”．例如，点是函数的图像的“好点”．

(1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是________；（填序号）

(2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值；

(3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值．

4．（2022·湖南株洲·株洲市景弘中学校考一模）如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．

(1)若

①求此二次函数图象的顶点M的坐标；

②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”．

(2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式．

5．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．

（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有；

（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；

（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2021·河北保定·统考二模）当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”．

（1）①抛物线的“相约矩形”的周长为___________．

②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是_________．

（2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式．

（3）对于函数(a为常数)．

①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标；

②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线(a为常数，a0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”时，直接写出a的取值范围．

7．（2022秋·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．

(1)求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．

①求a的值；

②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．

(3)如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．

8．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．

(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；

(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；

(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．

9．（2020·湖北黄冈·九年级统考自主招生）如图，抛物线，经过点.