重难点03线线、线面、面面垂直的判定与性质（6种题型）（解析版）_1_1.docx

重难点03线线、线面、面面垂直的判定与性质（6种题型）

【知识梳理】

证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；

②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；

③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；

④面面垂直的性质．

2.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法

先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明

3.证明面面垂直常用的方法：

（1）面面垂直的定义；

（2）面面垂直的判定定理.

在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可

【考点剖析】

题型一：线面垂直的判定

1．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1.

(1)求证：平面C1BD；

(2)求证：⊥平面A1DC.

【分析】（1）推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面；

（2）推导出，平面，，由此能证明平面．

(1)正方体．，，

又，，，，

四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面．

(2)正方体．

，平面，

平面，，

又，平面．

2．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见详解(2)

【分析】（1）由等腰三角形、直角三角形的性质，根据线面垂直的判定证明BM⊥平面PAC；

（2）由于平面，故，计算即得解

(1)证明：∵AB⊥BC，AB＝BC，

∴为等腰直角三角形，又M为AC的中点，AC＝2，

∴MB＝AC＝1，且BM⊥AC，

又∵PA⊥PC，∠PAC＝30°，

∴MP＝AC＝1，

综上有：MB＝MP＝1，又PB＝，即MP2＋MB2＝BP2，

∴MP⊥MB，又AC∩MP＝M，AC，MP平面PAC

∴BM⊥平面PAC.

(2)由（1）平面

故

故三棱锥的体积

3．（2021·上海·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：

（1）求的取值范围：

（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：

（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析

【分析】（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．

（2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值．

（3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可．

【详解】

解：（1）设，

则，

所以，

的取值范围为；

（2）解：设在，三边上的投影分别是，，，

????????????????????

则由于，

．

，

，

即，它的余弦值为

（3）解：设与的交点为．连接，

则由以及，知平面，

于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面，

在平面内，由，

知，又，

∴．

这说明点M为的中点．

【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．

题型二：线面垂直证明线线平行

4．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：

①；

②平面；

③；

④平面，

正确的编号为___________________.

【答案】①②④

【分析】①，由面，面，得，；

?②，取的中点，可得，面；

?③，若，可得面，从而得到，与已知矛盾；

?④，取中点，可得面，得到，即可得平面.

【详解】对于①，正方体中

面，面，

，

故正确；

对于②，如图，取的中点，

为中点，所以，，

正方体中，为中点，

所以可得，，

所以，，

所以为平行四边形，

所以，

而面，面

所以面，

故正确；

对于③，若，

正方体中，面，面，

所以，

而，面，，

所以面

而面，所以

与已知矛盾，故错误；

对于④，如图，取中点，

根据平面几何关系，得到，

面，，

所以面，

而面，所以

正方体中，易得面，

而面，所以.

面，，

所以面，

故正确．

故答案为：①②④

【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，属于中档题.

题型三：线面垂直证明线线垂直

5．（2021·上海市市西中学高二期中）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°

(1)证明：C1C⊥BD；

(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明．

【答案】(1)证明见解析(2)＝1，证明见解析

【分析】(1)连结AC和BD交于O，根据题意可得C1O⊥BD，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C