专题01 导数的概念与运算（9考点清单，知识导图+8个考点清单题型解读）（解析版）_1_1.docx

清单01导数的概念与运算

（8个考点梳理+题型解读+提升训练）

【考点题型一】求平均变化率

【例1】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为.

【答案】

【分析】利用定义得到在上平均变化率为，令，根据几何意义可看做图象上任一点与点连线的斜率，数形结合，以及切线的几何意义求出变化率的取值范围.

【详解】当时，

在上平均变化率为，

令

可看做图象上任一点与点连线的斜率，

即，当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，

??

表示函数在点处的切线的斜率，

，

所以，当点位于点时，点连线的斜率最大，

，

故.

故答案为：

【例2】（22-23高二下·全国·课时练习）物体的运动方程为位移单位：；时间单位：，求物体在到这段时间内的平均速度．

【答案】．

【分析】利用平均速度定义即可求得物体在到这段时间内的平均速度．

【详解】物体在内的平均速度为

．

即物体在到这段时间内的平均速度为．

【变式1-1】.（22-23高二下·全国·课时练习）蜥蜴的体温单位：与太阳落山后的时间单位：的关系为，则从到，蜥蜴体温的平均变化率为．

【答案】/

【分析】利用平均变化率的定义即可求得蜥蜴对应体温的平均变化率.

【详解】从到，蜥蜴体温的平均变化率为

（）

故答案为：

【变式1-2】.（22-23高二下·全国·课时练习）已知一质点的运动方程为，则该质点在一段时间内的平均速度为．

【答案】

【分析】利用平均速度定义即可求得该质点在一段时间内的平均速度.

【详解】则该质点在一段时间内的平均速度为

故答案为：

【考点题型二】瞬时变化率

【例1】（22-23高二下·全国·课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2s时的瞬时速度是（????）

A．2m/s B．6m/s

C．4m/s D．11m/s

【答案】D

【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.

【详解】质点M在t＝2s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，

当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11m/s.

故选：D.

【例2】（22-23高二下·全国·课时练习）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系.

(1)当，时，求与的值；

(2)求当时的瞬时速度.

【答案】(1)，

(2)210m/s

【分析】（1）代入计算出，进而计算出；

（2）在（1）的基础上得到，进而得到赛车在时的瞬时速度.

【详解】（1）

;

（2）由（1）可知，

当趋于0时，趋于210，

所以赛车在时的瞬时速度为210m/s.

【变式2-1】.（22-23高二下·全国·课时练习）做直线运动的物体，其位移与时间的关系是.求此物体在时的瞬时速度.

【答案】

【分析】根据导数定义和几何意义直接求解即可.

【详解】取一时间段，

则

，

所以，

，

故当时，此物体的瞬时速度为.

【变式2-2】.（22-23高二下·全国·课时练习）枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

【答案】

【分析】计算出，代入即可求解.

【详解】运动方程为，

因为

所以，

所以，

由题意知，，s，

所以，

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为.

【考点题型三】导数的概念

【例1】（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（????）

A．－2a B．2a

C．a D．

【答案】B

【分析】由导数的定义变形即可求解.

【详解】.

故选：B．

【例2】（22-23高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（????）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【分析】由极限的定义化简即可求出答案.

【详解】因为，

所以

故选：D

【变式3-1】.（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（????）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的定义，直接代入求值.

【详解】根据导数的定义可知，

.

故选：B

【变式3-2】.（20-21高二上·陕西延安·期末）已知函数在处的导数为1，则.

【答案】1

【分析】根据导数的定义可得答案．

【详解】根据题意，由极限的性质可得，

又由函数在处的导数为，即，

故.

故答案为：1.

【考点题型四】求在某一点出切线

【例1】（2024·江西南昌·一模）已知抛物线的焦点为是抛物线在第一象限部分上一点，若，则抛物线在点A处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，根据抛物线的定义求得，，再根据导函数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出方程即可

【详解】设，

由，得，所以抛物线的准线方程，

由抛物线的定义可得，得