专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

专题3.2椭圆的简单几何性质【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1椭圆中x、y的取值范围】 1

【题型2根据椭圆的有界性求范围或最值】 2

【题型3椭圆的对称性的应用】 3

【题型4利用椭圆的几何性质求标准方程】 4

【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】 4

【题型6求椭圆的离心率或其取值范围】 5

【题型7根据椭圆的离心率求参数】 6

【题型8椭圆的实际应用问题】 6

【知识点1椭圆的范围】

1．椭圆的范围

设椭圆的标准方程为(ab0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.

(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.

【题型1椭圆中x、y的取值范围】

【例1】（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是．

【变式1-1】（2022·高二课时练习）设集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{

A．[－2，2] B．[0，2]

C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}

【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列关于曲线Γ:x2

A．曲线Γ是椭圆 B．y的取值范围是[-3,3]

C．关于直线y=x对称 D．曲线Γ

【变式1-3】（2022·高二课时练习）讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形．

(1)x

(2)4x

【题型2根据椭圆的有界性求范围或最值】

【例2】（2023·高二课时练习）已知椭圆x24+y2=1经过点

A．0,1 B．0,4 C．4,+∞ D．1,4

【变式2-1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a

A．322b B．2b C．

【变式2-2】（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆x216+y212=1的左顶点为A，右焦点为F

A．-16,0 B．

C．0,8 D．0,16

【变式2-3】（2022秋·高二课时练习）已知点P(x,y)是椭圆x

【知识点2椭圆的对称性】

1．椭圆的对称性

(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(ab0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点

P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.

【题型3椭圆的对称性的应用】

【例3】（2023秋·高二课时练习）若点3,2在椭圆x2a2

A．点-3,-2不在椭圆上 B．点3,-2

C．点-3,2在椭圆上 D

【变式3-1】（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知椭圆C:x225+y29=1的左?右焦点分别为F

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

【变式3-2】（2023·高二课时练习）若点4,3在椭圆x2a2

A．点4,-3不在椭圆上 B．点3,4在椭圆上

C．点-4,-3不在椭圆上 D．点-

【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）已知椭圆x236+y29=1与x轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4

A．20 B．153 C．36 D．

【知识点3椭圆的顶点、长短轴与离心率】

1．椭圆的顶点与长轴、短轴

以椭圆的标准方程(ab0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、

y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

2．椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0e1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.

【题型4利用椭圆的几何性质求标准方程】

【例4】（