专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题3.3直线与椭圆的位置关系【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1点与椭圆的位置关系】 1

【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】 3

【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 5

【题型4椭圆的弦长问题】 8

【题型5椭圆的“中点弦”问题】 10

【题型6椭圆中的面积问题】 12

【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】 17

【题型8椭圆中的最值问题】 22

【知识点1点与椭圆的位置关系】

1．点与椭圆的位置关系

(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点在椭圆外+1;

点在椭圆内+1;

点在椭圆上+=1.

【题型1点与椭圆的位置关系】

【例1】（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆C:x24+y23=1，则下列各点不在椭圆内部的是（????）

A．1,1 B．2

C．2,2 D

【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.

【解答过程】由椭圆方程为C:

因为14+13=

因为24+13=

因为24+23=

因为144+13=

故选：C.

【变式1-1】（2023·高二课时练习）点Aa,1在椭圆x24+

A．-2,2

C．-2,2 D．

【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.

【解答过程】因为点Aa,1在椭圆

所以a24+1

故选：B.

【变式1-2】（2023·高二课时练习）点P(4cosα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：x24＋y23＝

A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关

C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外

【解题思路】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.

【解答过程】把点P(2cosα，3sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为4cosα

＝4（cos2α＋sin2α）＝41，因此点P在椭圆外．

故选:D.

【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C关于x轴?y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c(c0)，若点Ac,6

A．33,1 B

C．63,1 D

【解题思路】设出椭圆方程，由于Ac,62c不在椭圆C的外部，得到6c

【解答过程】设椭圆C的方程为y2

因为Ac,6

所以6c24

所以6c24

同除以a4得：6e4

解得：0e

故e∈

故选：B.

【知识点2直线与椭圆的位置关系】

1．直线与椭圆的位置关系

(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

0直线与椭圆相离无公共点.

【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】

【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：x+y-

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【解题思路】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.

【解答过程】联立x24+y2=1x+

故选：C.

【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：kx+y+1=0，曲线C：x216+y

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【解题思路】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.

【解答过程】解：由直线l：kx+y+1=0，得直线l

因为016+141，所以该点在曲线

所以直线l与曲线C相交.

故选：C.

【变式2-2】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）若直线mx+ny=4和圆x2+y2

A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个

【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求得点m,n

【解答过程】∵直线mx+ny=4和圆x2+y

∴4m

∴点Pm,n

又椭圆x29+y24=1短轴长为4，∴圆

则过点(m,n)的直线与椭圆x

故选：A.

【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:x0xa2+

A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离

B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切

C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交

D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定

【解题思路】考虑y0=0和y0≠0

【解答过程】当y0=0，则x0

①若点A在椭圆C外，则x0a，则|x|=

②若点A在椭圆C上，则x0=a，则|x|=

③若点A在椭圆C内，则x0a，则|x|=

当y0≠0时，联立方程x0

a2

所以Δ=4

①若点A在椭圆C外，则x02a2+y0

②若点A在椭圆C