专题5.7 一元函数的导数及其应用全章七类必考压轴题（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题5.7一元函数的导数及其应用全章七类必考压轴题

【人教A版（2019）】

考点

考点1

两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

1．（2023下·湖北·高二校联考期中）若直线x+y+a=0是曲线fx=

A．26 B．23 C．15 D．11

【解题思路】先由gx=x2-3lnx，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a

【解答过程】解：因为gx

所以gx=2x-3x

所以切点为1,1，

因为切点在切线x+y+

所以切线方程为x+

fx=3

由题意得3t2+

所以a-

故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（????）

A．12 B．

C．32 D．

【解题思路】求出导函数f(x)，由切线垂直斜率乘积为-1

【解答过程】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，

所以f′(x)＝2x＋2，

所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，

因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，

所以f′(x1)f′(x2)＝－1．

所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，

所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，

所以x2－x1＝12[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥-(2x1+2)(2x2+2)＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝

即x1＝－32，x2＝－1

所以x2－x1的最小值为1．

故选：B．

3．（2023上·江苏常州·高三校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，若过点P且同时与曲线y=ex，曲线y=2+lnx都相切的直线有两条，则点

【解题思路】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.

【解答过程】设点P的坐标为x0

显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为k，

因此切线方程为y-

设曲线y=ex的切点为x

由y=ex

则有ex

设y=2+lnx的切点为x

由y=2+lnx

则有2+ln

由题意可知：k=e

1-2，得x1

当x1=1时，则有

当x1=0时，则有

由3,4可解，

故答案为：1e

4．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线y=x3+ax和y

(1)求a，b，c的值；

(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；

【解题思路】（1）先求导，根据两曲先都经过点P1,2，且在点P

（2）由（1）得到公切线方程y-2=4(x-1)，分别令

【解答过程】（1）解：两函数y=x3

y=3x

由题意1+a

解得a=1

（2）由（1）知公切线方程为y-

即4x

令x=0得y=-2，令y=0

所以所求面积为S=

5．（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知函数y=fx，若点P是函数y=fx的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点P是函数y=fx的“特征点”

(1)若fx=ln

(2)若fx=x2，求证：函数y=

(3)若fx=x3-ax2，记函数

【解题思路】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断；

（2）设“特征点”Px0,y0是fx在

（3）依题意不存在fx图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数a，若fx图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设Ax2,y2，Bx

【解答过程】（1）假设fx=lnxx0存在

设为x=x1

因为fx=

所以fx不存在“特征点”，所以M

（2）设“特征点”Px0,y0是f

因为fx=x

所以fx在x=x1和x=

联立y=2x1x-

因为两条切线相互垂直，所以f

所以x1x2=-14，所以fx的所有

（3）因为Mf∩N=?，所以由题意可知不存在fx

先证明：对任意的实数a，若fx图象上的点是“特征点”

反证法：假设该点Qx1,

它与函数图象交于点Q，所以y1

化简得x1-x22

同理可得x1=a

假设Ax2,y2

则由前文可知x3=a-2

因为f

所以3x22

设t=3

则有t4

由题意可知fx图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B

所以方程4t2+

设gt=4t

所以当t=-a28时

要使得gt=0无解，只需1-a

考点

考点2

与导数运算有关的新定义问题

1．（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx是fx的导函数，f″x是fx的导函数，则曲线y=fx在点x,fx处的曲率

A．0 B．12 C．1 D．

【解题思路】根据曲率的定义求解即可.

【解答过程】因为fx

所以f(x

所以曲线y=fx在0,-1

故选：C.

2．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）给出新定义：设fx是函