专题06 第七章 概率与数列，统计与导数交汇（2考点清单，知识导图+8个考点清单题型解读）（解析版）.docx

清单06第七章概率与数列，统计与导数交汇

（2个考点梳理+题型解读+提升训练）

【考点题型一】概率与数列交汇

【例1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为．则求第次投篮的人是甲的概率为.

【答案】

【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；

【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，

设，依题可知，，

则，

即，

构造等比数列，

设，解得，则，

又，则，所以是首项为，公比为的等比数列，

即，．

则第次投篮的人是甲的概率为.

故答案为：

【例2】（23-24高三上·广西·阶段练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，由题意可知，则．

【答案】

【分析】求出，，分类讨论，即分第次反面向上，和第次正面向上情况，确定，由此可求得答案.

【详解】当时，，

当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，

所以，

要求，即抛郑次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，

若第次反面向上，前次未出现连续3此正面即可；

若第次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表：

第次

次

次

概率

反面

正面

反面

正面

正面

反面

所以，

又，

故答案为：

【例3】（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．

(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；

(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．

【答案】(1)分布列见解析，；

(2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和.

【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；

（2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配.

【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率

某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率

所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为

记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，

则

的分布列为：

X

0

1

2

3

P

.

（2）依题意，，即，

则有，当时，可得，

数列是首项为公比为的等比数列，则，

时，，

所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.

【例4】（2024高三·全国·专题练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．

(1)求及的分布列．

(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；

(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：?）

【答案】(1)，分布列见解析；

(2)，证明见解析；

(3)（元）

【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果；

（2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果；

（3）由（2）得到，即可求出结果.

【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4，

显然的值为25，50，则，

所以，

又的值为，

则，

所以的分布列为：

25

50

100

0.4

0.24

0.36

（2）依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为，

抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为，

因此当时，，

，即，又，

数列为等比数列，公比为1.2，首项为90．

（3）由（2）得，，即，

所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）．

【例5】（23-24高三上·河北邢台·期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲