专题8.5 空间直线、平面的平行【八大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docxVIP

专题8.5空间直线、平面的平行【八大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1证明线线平行】 3

【题型2直线与平面平行的判定】 5

【题型3平面与平面平行的判定】 11

【题型4由线面平行的性质判定线线平行】 15

【题型5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 17

【题型6由线面平行求线段长度】 21

【题型7面面平行性质定理的应用】 25

【题型8平行问题的综合应用】 29

【知识点1空间中的平行关系】

1.直线与直线平行

(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.

(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠AOB中，OA∥OA，OB∥OB，则∠AOB=∠AOB

或∠AOB+∠AOB=.

2.直线与平面平行

(1)判定定理

①自然语言

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.

(2)性质定理

①自然语言

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.

(3)性质定理的作用

①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.

3.平面与平面平行

(1)判定定理

①自然语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语售

.

该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.

(2)判定定理的推论

①自然语言

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语言

.

(3)性质定理

①自然语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.

(4)两个平面平行的其他性质

①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

【题型1证明线线平行】

【例1】（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（????）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③

【解题思路】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.

【解答过程】①错误，两条直线可以异面；

②正确，平行的传递性；

③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；

④正确，平行的传递性.

故选：B.

【变式1-1】（2023下·全国·高一专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（???）

A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直

【解题思路】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断.

【解答过程】如图，

??

连接AD1，CD1，AC，

因为E，F分别为AD1，CD1的中点，

由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，

所以EF∥GH.

故选：C.

【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列命题中，正确的结论有(??)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直