第07讲 全等三角形中手拉手（旋转）模型-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）（解析版）.docxVIP

第07讲全等三角形中手拉手（旋转）模型

【应对方法与策略】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

图1图2

图3图4

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：

①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1图2

图3图4

【多题一解】

一．解答题（共13小题）

1．（2022?金平区一模）如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．

（1）证明：AF为⊙O的切线；

（2）证明：AF＝AG；

（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．

【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOC＝90°，从而利用圆周角定理可得∠AEF＝∠AOC＝45°，进而可得∠FAC＝45°，然后根据△AOC是等腰直角三角形可得∠OAC＝45°，

从而求出∠OAF＝90°，即可解答；

（2）根据圆内接四边形对角互补，以及平角定义可得∠ACF＝∠ADG，再根据已知AB⊥CD，可证AD＝AC，∠FAC＝∠DAB＝45°，从而证明△ADG≌△ACF，即可解答；

（3）连接BE，AD，分别在Rt△OAD和Rt△ODG中，根据勾股定理求出AD，DG的长，然后证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质求出BE的长，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，即可解答．

【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，

∴∠AOC＝90°，

∴∠AEF＝∠AOC＝45°，

∵∠FAC＝∠AEF，

∴∠FAC＝45°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠OAF＝∠OAC+∠FAC＝90°，

∵OA是⊙O的半径，

∴AF为⊙O的切线；

（2）证明：∵四边形ADEC是圆内接四边形，

∴∠ADG+∠ACE＝180°，

∵∠ACE+∠ACF＝180°，

∴∠ACF＝∠ADG，

∵AB⊥CD，

∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°，

∴AD＝AC，∠DAB＝∠BOD＝45°，

∴∠FAC＝∠DAB＝45°，

∴△ADG≌△ACF（ASA），

∴AG＝AF；

（3）解：连接BE，AD，

∵G为OB的中点，OB＝2，

∴OG＝GB＝OB＝1，

∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，

∴AD＝OA＝2，

∵∠BOD＝90°，

∴BD＝＝＝，

∵∠DAB＝∠DEB，∠AGD＝∠BGE，

∴△ADG∽△EBG，

∴＝，

∴＝，

∴EB＝，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE＝＝＝，

∴AE的长为．

【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

2．（2022?兰州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，在OD的延长线上存在一点E，使得∠CED＝∠B，连接CD．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）当CE＝CB时，判断四边形ACDO的形状并说明理由．

【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAB+∠B＝90°，再根据角平分线的定义，以及圆周角定理可得∠COD＝∠CAB，从而可得∠CED+∠COD＝90°，然后利用三角形内角和定理求出∠OCE＝90°，即可解答；

（2）根据CE＝CB，再利用（1）的结论可得△COE≌△CAB，从而可得CO＝CA，进而可得△OCA是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠CAB＝60°，从而可得∠COD＝60°，进而可得△OCD是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得CD＝OD＝AC＝OA，即可解答．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠CAB，

∵∠CAD＝∠COD，

∴∠COD＝∠CAB，

∵∠CED＝∠B，

∴∠CED+∠COD＝90°，

∴∠OCE＝180°﹣（∠CED+∠COD）＝90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）四边形ACDO是菱形，

理由：∵∠CED＝∠B，∠COD＝∠CAB