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二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含

未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义:一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,

叫二元一次方程。二元一次方程组定义:两个结合在一起的共含有两个未知数的一

次方程,叫二元一次方程组。

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元

一次方程的解。

二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的

解。

一般解法,消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。

消元的方法有两种:

代入消元法

例:解方程组x+y=5①

6x+13y=89②

解:由①得x=5-y③

把③带入②,得6(5-y+13y=89

y=59/7

把y=59/7带入③,

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x=5-59/7

即x=-24/7

∴x=-24/7

y=59/7为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代

入消元法(eliminationbysubstitution,简称代入法。

加减消元法

例:解方程组x+y=9①

x-y=5②

解:①+②2x=14

即x=7

把x=7带入①

得7+y=9

解得y=-2

∴x=7

y=-2为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(eliminationbyaddition-

subtraction,简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况:

1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7为方程组的解

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2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个

方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”,所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②,因为方程②化简后为x+y=5这与方程

①相矛盾,所以此类方程组无解。

注意:用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计

算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法

(一加减-代入混合使用的方法.

例1,13x+14y=41(1

14x+13y=40(2

解:(2-(1得x-y=-1x=y-1(3

把(3代入(1得13(y-1+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3得x=1

所以:x=1,

y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

(二换元法

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例2,(x+5+(y-4=8

(x+5-(y-4=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为m+n=8

m-n=4

解得m=6,

n=2

所以x+5=6,

y-4=2

所以x=1,

y=6

特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程

也是主要原因。

(三另类换元

例3,x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为:5t+6*4t=29

29t=29

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