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生物数学一线性规划

第一章线性规划的数学模型

一线性规划问题的数学模型

在工农业生产、交通运输、财贸工作等各项经济活动中，必须提高经济效

益，做到耗较少的人力物力财力，创造出较多的经济价值。

提高经济效益可以通过两种途径：一是技术方面的各种改进，例如工业生

产上改善工艺，使用新的设备和新型原材料等。二是生产组织和计划的改进，

即合理安排人力物力资源，合理组织生产过程，在条件不变的情况下，统筹安

排，使总的经济效益最好。后者就是运筹学研究的主要内容。

运筹学有规划论、排队论、对策论等许多分支。线性规划是其中的一个重

要分支。早在20世纪30年代末就有人从运输等问题开始研究它。它在运筹学

中是研究较早、发展较快、应用较广、比较成熟的一个分支。它研究的问题主

要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力物力

资源去完成这一任务。二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用它们,

使得完成任务最多。其实这两类问题是一个问题的两个方面，就是所谓寻求整

个问题的某个整体指标最优的问题。在经济领域里，这种问题很多。

-（）运输问题

在某一地区内，有某种产品的产地与销地各若干个，把这种产品从各个产

地调运到各个销地，调运方案可以很多，应如何调运，才能使总的运或运输

量（即总的运行吨公里数）最少。

（-）生产的组织与计划问题

一个工厂或车间有各种不同类型的车床各若干台，各种不同车床生产各种

零件的效率不同，在一个生产周期，应如何安排个车床的生产时间，使得成套

的产品总量最大。类似的还有劳动力的安排等问题。

三（）合理下料问题

在加工中需要将某类条材或板材下不同规格的毛坯，各种毛坯的数量也可

能不同，应如何选取合适的裁法，使毛坯数量符合要求，并且使总料头最少（即

所用原材料最少）。

（四）配料问题

在食品、化工、冶炼等企业，常常用几种原料，制成达到含有一定成分的

产品，而这些不同原料价格不同，应如何决定配料的方案，才能使生产的产品

所含成分合乎要求，而产品的成本最低。

五（）布局问题

各种作物在不同土壤上单位面积产量不一样，如何合理安排各种作物在各

种土壤上的种植面积，达到因地制宜，在完成种植划的前提下，使总产量最

多。这是作物布局问题。将某几个地方出产的原料，集中到某几个地方加工成

成品，然后再运到某几个成品需要地。有些地方可能既是原料出产地，又是产

品需要地，也是成品加工地。因各地间运费不同，成品加工费不同，设厂条件

不同，应在什么地方设厂，规模多大，才能满足成品需要地的需要，又使费用

包（括运费、加工费）最低。这是工厂布局问题。

六（）分派问题

〃件工作分派给〃人去做，每人做一件工作，而各人对做各种工作的效率不

同，问应如何合理分派，才能使完成全部工作的总工时最少。类似的问题还有

作物的种植安排、机床加工零件任务的分配问题等。

数学模型是描述实际问题共性的抽象的数学形式。对数学模型的研究，有

助于我们认识这类问题的性质和寻求它的一般解法。现在首先介绍几个典型的

实际问题。

-（）运输问题

例1设有两个砖厂4,4，其产量分别为23万块和27万块，生产的砖全

部销往片,坊,鸟三个工地。其需要量分别为17万块、18万块和15万块。自各

产地到各销地的运价如表1T。问应如何调运，才使总运费最低？

表17

自产地到销地的运价产量

销地（工地）

与B2B3（万块