第16讲 解直角三角形中的（叠合式）字母型-【多题一解一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）（解析版）.docxVIP

第16讲解直角三角形中的（叠合式）字母型

【应对方法与策略】

【模型展示】

【多题一解】

一、单选题

1．（2022·山东泰安·校考二模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（????）

A．米 B．3米 C．米 D．米

【答案】D

【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案．

【详解】解：在中，，

（米，

在中，，

（米，

米，

故选：D．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．

【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，

∴∠DEF=,

∴,

由题可知，△DCE为直角三角形，

在Rt△DEC中，

即：,

∴,

故选：C

【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．

二、填空题

3．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在处，测得教学大楼顶端处的仰角为45°；随后沿直线向前走了15米后到达处，在处测得处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留整数）

【答案】21

【分析】设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x的方程，解之可得答案．

【详解】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形

设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，

在Rt△AFG中，

解得：

∴

故答案为：21

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）

【答案】米

【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．

【详解】解：设米

在中，，则

在中，，则

，即，解得

即米

故答案为米

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．

三、解答题

5．（2023·浙江宁波·校考一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）

【答案】生命所在点C的深度为1.7m．

【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可．

【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，

∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，

∴∠BCA=30°，

∴AB=BC，

∵AB=2m，

∴BC=2m，

∴m，

答：生命所在点C的深度为1.7m．

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．

6．（2022·辽宁鞍山·统考二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）

【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．

【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解．

【详解】解：