2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第十章　§10.7　概率与统计的综合问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义

第十章

§10.7概率与统计的综合问题

题型一频率分布直方图与分布列的综合问题

例1(2023·上饶模拟)为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了

100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间

(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的

学生称为“运动族”.

(1)用样本估计总体，已知某学生每天

平均运动时间不低于20分钟，求该学生

是“运动族”的概率；

由频率分布直方图可知，

10×(0.01＋0.018＋0.022＋0.025＋0.020

＋a)＝1，

解得a＝0.005.

设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件A，“该学生是

‘运动族’”为事件B，

则P(A)＝0.72，P(AB)＝0.25，

所以在该学生每天平均运动时间不低于

20分钟的条件下是“运动族”的概率为

(2)从样本里的“运动族”学生中随机选

取两位同学，用随机变量X表示每天平

均运动时间在40～50分钟之间的学生数，

求X的分布列及期望.

由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40～50分钟

之间的学生有20人，

所以X＝0,1,2.

X的分布列为

思维升华

高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正

确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.

概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的

意义，使之和相应的概率计算对应起来.

跟踪训练1(2023·呼和浩特模拟)某高校共有

15000人，其中男生10500人，女生4500人，

为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，

采用按比例分配的分层随机抽样的方法，收集

300位学生每周平均体育运动时间的样本数据

(单位：小时).

(1)应收集多少个女生样本数据？

因为该校共有15000人，其中女生有4500人，

又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方

法收集300位学生的样本数据，

(2)根据这300个样本数据，得到学生每

周平均体育运动时间的频率分布直方图

(如图所示)，其中样本数据分组的区间

为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，

[10,12].请估计该校学生每周平均体育

运动时间不低于4个小时的概率；

由频率分布直方图可知，

学生每周平均体育运动时间不低于4个小时

的频率为(0.15＋0.125＋0.075＋0.025)×2

＝0.75，

故估计该校学生每周平均体育运动时间不

低于4个小时的概率为0.75.

(3)视样本数据的频率为概率，现从全

校随机抽取4名学生，记X为这4名学生

中运动时间不低于4个小时的人数，求X

的分布列以及数学期望.

则X的分布列为

题型二回归模型与分布列的综合问题

例2(2023·韶关模拟)研究表明，如果温差大，且人们不注意保暖，可能会导致

自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，

要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生新增感

冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天

中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差x(℃)47891412

新增感冒就诊人数y(位)y1y2y3y4y5y6

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差x(℃)47891412

新增感冒就诊人数y(位)y1y2y3y4y5y6

(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增感冒就诊

的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位

女生的概率为，求随