几何专题03：圆综合大题-备考2023年中考数学典型例题《考点.题型.技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

几何专题03：圆综合大题（解析版）

1．（2022·福建·统考中考真题）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．

(1)求证：；

(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；

（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）解：连接，如图，

由（1）得，

∵，

∴，

∴的长．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．

2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．

(1)求证：；

(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得；

(2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得．

【详解】（1）证明：如图，连接，

，

，

由圆周角定理得：，

，

与相切，

，

，

，

，

；

（2）解：如图：连接，

弦平分半径，，

，在中，，

，

，

，

，

，，

，

．

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．

3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)直线与相切，理由见解析

(2)图中阴影部分的面积

【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】（1）解：直线与相切，

理由：如图，连接，

∵，

∴，

连接，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是的半径，

∴直线与相切；

（2）解：如（1）中图，

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴图中阴影部分的面积．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．

4．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．

(1)求证：平分；

(2)若，，求线段的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论；

（2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2，最后证明,进而即可求解．

【详解】（1）证明：连接交于点H.

∵与相切于点D

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴??即平分；

（2）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴

∴，

∴（负值舍去），

∴

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．

5．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；

（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．

【详解】（1）证明：连接OD．

∵AC＝CD，

∴∠A＝∠ADC．

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠BDO．

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°．

∴∠ADC+∠BDO＝90°．

∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，

∴△ACD是等边三角形．

∴∠ACD＝60°．

∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°