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2023年中考数学典型例题系列之
几何专题03:圆综合大题(解析版)
1.(2022·福建·统考中考真题)如图,内接于⊙O,交⊙O于点D,交于点E,交⊙O于点F,连接.
(1)求证:;
(2)若⊙O的半径为3,,求的长(结果保留π).
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)根据已知条件可证明四边形是平行四边形,由平行四边形的性质可得,等量代换可得,即可得出答案;
(2)连接,由(1)中结论可计算出的度数,根据圆周角定理可计算出的度数,再根据弧长计算公式计算即可得出答案.
【详解】(1)证明:∵,,
∴四边形为平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴.
(2)解:连接,如图,
由(1)得,
∵,
∴,
∴的长.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,圆的性质与弧长公式,考查化归与转化思想,推理能力,几何直观等数学素养.
2.(2022·四川攀枝花·统考中考真题)如图,的直径垂直于弦于点F,点P在的延长线上,与相切于点C.
(1)求证:;
(2)若的直径为4,弦平分半径,求:图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先可证得,由圆周角定理得:,可得,再根据切线的性质,可得,根据垂直的定义可得,据此即可证得;
(2)首先由弦平分半径,,可得,,,再根据,可得,即可证得,最后由即可求得.
【详解】(1)证明:如图,连接,
,
,
由圆周角定理得:,
,
与相切,
,
,
,
,
;
(2)解:如图:连接,
弦平分半径,,
,在中,,
,
,
,
,
,,
,
.
【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,直角三角形的性质,扇形的面积公式,作出辅助线是解决本题的关键.
3.(2022·江苏淮安·统考中考真题)如图,是的内接三角形,,经过圆心交于点,连接,.
(1)判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)直线与相切,理由见解析
(2)图中阴影部分的面积
【分析】(1)连接,根据圆周角定理得到,连接,根据等边三角形的性质得到,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)根据圆周角定理得到,解直角三角形得到,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】(1)解:直线与相切,
理由:如图,连接,
∵,
∴,
连接,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴直线与相切;
(2)解:如(1)中图,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴图中阴影部分的面积.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,等边三角形的判定和性质,解直角三角形,扇形面积的计算,正确地作出辅助线是解题的关键.
4.(2022·内蒙古·中考真题)如图,是的外接圆,与相切于点D,分别交,的延长线于点E和F,连接交于点N,的平分线交于点M.
(1)求证:平分;
(2)若,,求线段的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得⊥EF,由得OD⊥BC,由垂径定理得,进而即可得出结论;
(2)由平行线分线段定理得,再证明,可得BD=2,最后证明,进而即可求解.
【详解】(1)证明:连接交于点H.
∵与相切于点D
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴??即平分;
(2)解:∵,
∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴
∴,
∴(负值舍去),
∴
【点睛】本题主要考查圆的基本性质,切线的性质、相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的判定和性质;找出相似三角形,列相似比求解是解决本题的关键.
5.(2022·辽宁阜新·统考中考真题)如图,在中,,是边上一点,以为圆心,为半径的圆与相交于点,连接,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接OD.由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A=∠ADC,∠B=∠BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC=180°﹣(∠ADC+∠BDO)=90°.最后由切线的判定定理可得结论;
(2)根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO=∠ACB﹣∠ACD=30°.再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数,最后根据弧长公式可得答案.
【详解】(1)证明:连接OD.
∵AC=CD,
∴∠A=∠ADC.
∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∴∠ADC+∠BDO=90°.
∴∠ODC=180°﹣(∠ADC+∠BDO)=90°.
又∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:∵AC=CD,∠A=60°,
∴△ACD是等边三角形.
∴∠ACD=60°.
∴∠DCO=∠ACB﹣∠ACD=30°
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