线性变换的矩阵.ppt

证充分性已由定理6.3.4证明．由定理6.3.1知,存在F上的n维线性空间V的一个线性变换σ,使它在V的基{α1,α2,…,αn｝下的矩阵为A．因为A～B,存在可逆矩阵T使B=T-1AT.令(β1，β2，…，βn)＝（α1，α2，…，αn）T，｛β1，β2，…，βn｝也是V的一个基．由定理6.3.4，σ在这个基下的矩阵就是T-1AT＝B．□第32页,共38页，星期六，2024年，5月从上面的讨论可以知道，L(V)中的一个线性变换在不同基下的矩阵组成一个Mn(F)中的相似类与该线性变换对应；不同的线性变换与不同的相似矩阵类对应．第33页,共38页，星期六，2024年，5月我们自然要问，对于线性变换σ能否找到一个基，使σ在这个基下的矩阵具有最简单的形式？换句话说，在Mn(F)的每个相似类中，能否找到一个形式最简单的矩阵？这就是矩阵的标准形的问题．在后面几节，我们将对其核心――矩阵的对角化作较多的讨论．第34页,共38页，星期六，2024年，5月习题6.31.求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：1）在R3中，基为R3的标准基σ(x1,x2,x3)=(x1,x1+x2-3x3,2x1-x2-2x3)2）在V2内，从原点引出两条彼此正交的单位向量ε1，ε2作为V2的基，令σ是将V2的每一个向量旋转角θ的旋转变换；第35页,共38页，星期六，2024年，5月3）设ε1=e3t,ε2=te3t,ε3=t2e3t．V=L(ε1，ε2，ε3)是R上的三维向量空间，线性变换D是V的微商变换：D(f(x))=f′(t);4）Fn[x]是F上的线性空间．它的线性变换σ：σ(f(x))=f(x+1)-f(x).基为ε0＝1,εi＝i=1,2,…,n;第36页,共38页，星期六，2024年，5月2.设3维线性空间V的线性变换σ在基{ε1,ε2,ε3}下的矩阵为5）在M2(F)中，线性变换σ(X)=1)σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩阵；2)σ在基{ε1,kε2,ε3}下的矩阵k∈F,k≠0;3)σ在基{ε1+ε2,ε1,ε3}下的矩阵．基为{E11,E12,E21,E22}．第37页,共38页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第38页,共38页，星期六，2024年，5月返回后页前页关于线性变换的矩阵一.线性变换的矩阵表示1)V的任一线性变换σ，由它在基{α1，α2，…，αn}上的作用惟一确定，即如果σ(αi)＝τ(αi)(τ∈L(V),i=1,2,…,n),则σ=τ;定理6.3.1设V是数域F上的一个n维线性空间，{α1，α2，…，αn}是V的一个基．1.线性变换对基的作用的重要性第2页,共38页，星期六，2024年，5月证只须证2）．设ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn是V的任意向量，规定V的一个变换σ:σ(ξ)=x1β1+x2β2,…,xnβn.这时，有σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.以下我们证明σ是V的线性变换．2)任给β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一线性变换σ，使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n).第3页,共38页，星期六，2024年，5月设η=y1α1+y2α2+…+ynαn∈V,ξ+η=(x1+y1)α1+(x2+y2)α2+…+(xn+yn)αn.于是σ(ξ+η)=(x1+y1)β1+(x2+y2)β2+…+(xn+yn)βn=(x1β1+x2β2+…+xnβn)+(y1β1+y2β2+…+ynβn)=σ(ξ)+σ(η),σ(kξ)=kx1β1+kx2β2+…+kxnβn=kσ(ξ).所以，σ是V的满足定理所要求的条件和的线性变换．第4页,共38页，星期六，2024年，5月如果τ∈L(V),且τ(αi)=βi,i=1,2,…,n,ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn∈V,则τ(ξ)=x1τ(α1)+x2τ(α2)+…+xnτ(αn)=x1β1+x2β2+…+xnβn=σ(ξ).所以，σ＝τ．第5页,共38页，星期六，2024年，5月定义1设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．基向量的象可由基线性表示：2.线性变换矩阵的定义第6页,共38页，星期六，2024年，5月我们把（1）写成