《一元线性回归模型及参数的最小二乘估计》同步学案(教师版) (1).docxVIP

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《一元线性回归模型及参数的最小二乘估计》同步学案

情境导入

人的脚的长短与身材的高矮之间具有某种关联.但是,两个脚一样长的人,他们的身高并不一定相同.也就是说,人的脚的长短与身高之间并不是确定的关系,人的脚的长短与身材的高矮之间是一种怎样的关系习?

自主学习

自学导引

1.称为关于的一元线性回归模型,其中,称为________________________,称为______________________;和为模型的未知参数,称为__________,称为______________是与之间的______________.

2.设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为.我们将称为关于的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的____________________________________,_____________,叫做的最小二乘估计,其中.

3.对于响应变量,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值称为__________________.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数

据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.

答案:

1.因变量或响应变量自变量或解释变量截距参数斜率参数随机误差

2.

3.残差

预习测评

1.设有一个经验回归方程,变量增加1个单位长度时,变量()

A.平均增加2.5个单位长度

B.平均增加2个单位长度

C.平均减少2.5个单位长度

D.平均减少2个单位长度

2.已知变量与正相关,且由观测数据算得样本平均数,则由该观测数据算得的经验回归方程可能是()

A.

B.

C.

D.

3.已知的取值如表所示:

若从散点图分析,与线性相关,且,则的值等于()

A.2.6

B.6.3

C.2

D.4.5

4.下列关于残差图的描述错误的是()

A.残差图的纵坐标只能是残差

B.残差图的横坐标可以是编号、解释变量和响应变量

C.残差点分布的带状区域的宽度越窄,残差平方和越小

D.残差点分布的带状区域的宽度越宽,残差平方和越小

答案:

1.C

解析:由经验回归方程的意义判断,将变为,显然减少了2.5个单位长度.

2.A

解析:因为变量和正相关,则经验回归直线的斜率为正,故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在经验回归直线上,把点的坐标分别代入选项A和B中的经验回归方程进行检验,可以排除B.

3.

解析:,而经验回归方程过样本点的中心,4.5),所以.

4.

解析:对于,残差图的纵坐标只能是残差,故选项正确;对于B,根据残差图的定义和图象即可知,残差图的横坐标可以是编号、解释变量和响应变量,故选项B正确;对于C和D,用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地分布在水平的带状区域中时,残差带分布的带状区域的宽度越窄,说明残差平方和越小,残差带分布的带状区域的宽度越宽,说明残差平方和越大,故选项C正确,选项D错误.

新知探究

探究点1经验回归方程

知识详解

设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为,人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画观测数据与直线的“整体接近程度”.当,的取值分别为时,取得最小值.

我们将称为关于的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的叫做的最小二乘估计.

[特别提示]

1.对于的两种表示形式,根据所给的数据的特点,选择恰当的形式即可.

2.由公式可知经验回归直线恒过样本中心点,据此性质可以解决有关的计算问题,判断结论的正确性.

3.通过经验回归方程可以预测有关的量,只是估算,而不是真实值.

典例探究

例1某种产品的广告费用支出(单位:百万元)与销售额(单位:百万元)之间有如下的对应数据：

(1)画出散点图;

(2)求经验回归方程.

(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额.

解析:(1)结合表格中的数据,运用描点法,即可画图;(2)设所求经验回归方程为,根据已知条件,结合最小二乘估计公式,即可求解;(3)将代入经验回归方程中,即可求解.

答案:(1)散点图如图所示.

(2)由(1)中散点图可知,销售额与广告支出费用线性相关,因此可以用一元线性回归模型刻画销售额与广告支出费用之间的关系.

列出下表,并用科学计算器进行有关计算:

所以,.

于是可得6.5,

.

所以所求的经验回归方程为.

(3)根据(2)中求得的经验回归方