数学本讲测评：第一讲相似三角形的判定及有关性质2.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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本讲知识结构

本讲测试

1如图1-1，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于（)

图1-1

A。1∶3B.1∶4C

思路解析:设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB,可得，即。

所以x=，于是=。

答案：C

2在△ABC中，AB=9，AC=12,BC=18，D为AC上一点，DC=AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是（）

A.6B.8C

思路解析:依题意，本题有两种情形：

（1）如图(1）,过D作DE∥CB交AB于E,

则,AB=9,AC=12，DC=AC=×12=8。

∴AD=AC—DC=12-8=4.

∴DE==6.

（2）如图（2），作∠ADE=∠B，交AB于E，则△ADE∽△ABC,

∴有.

∴DE==8。

∴DE的长为6或8.

答案：C

3如图1-2所示，矩形ABCD中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠,使点B落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为（）

图1—2

A。13B。C。D.

思路解析：如图,过A作AH∥FG,交CD于H，则四边形AFGH是平行四边形，

∴AH=FG。∵FG⊥BE，∴AH⊥BE.

∴∠ABE＋∠BAH=90°.

∵∠BAH＋∠DAH=90°，∴∠ABE=∠DAH.

∵∠BAE=∠ADH=90°，∴△ABE∽△DAH.

∴.

∵AB=12，AE=AD=×10=5，AD=10，

∴BE==13。∴.∴AH=.

答案：C

4如图1-3所示，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为（）

A.4B.2—

C。2＋D。-1

图1-3图1—4

思路解析:过B′点作EF∥BC，分别交AB、DC于E、F。

由基本图形知Rt△KFB′∽Rt△B′EA.

利用AE2＋B′E2=AB′2，AE=AB′=,求出B′E=。

∴

连结AK，则Rt△AB′K≌Rt△ADK,S△AB′K=S△ADK.

∴SAB′KD=2S△AB′K=AB′×KB′=2—。

答案：B

5如图1-4所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为（）

A。4cmB。5cm

C.6cmD。7cm

思路解析：∵∠BAD=90°，AE⊥BD，

∴△ABE∽△DBA。∴S△ABE∶S△DBA=AB2∶DB2。

∵S△ABE∶S△DBA=1∶5,∴AB2∶DB2=1∶.

∴AB∶DB=1∶.

设AB=k，DB=k,则AD=2k.

∵S矩形=40cm2，∴k·2k=40。∴k=.

∴BD=k=10，AD=.

S△ABD=BD·AE=20。

∴·10·AE=20.∴AE=4cm.

答案：A

6如图1-5，已知△ABC中，AD是BC边上的中线,E是AD的中点。BE的延长线交AC于点F，求证：AF=AC.

图1—5

思路分析：要证AF=AC，只要能在FC上取一点G，证明AF=FG=GC即可．当已知三角形一边的中点时，常过该点作三角形其他边的平行线,构成平分第三边的基本图形.

证明：过D点作DG∥BF交AC于点G.

∵BD=DC,DG∥BF,∴FG=GC。

又∵EF∥DG，AE=ED,∴AF∥DG.∴AF=AC.

7如图1—6所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D,与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD=DC，求证:AE·FB=EC·FA.

图1—6

思路分析：本题只要证即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.

证明:过A作AG∥BC,交DF于G点.

∵AG∥BD,∴

又∵BD=DC,∴=。

∵AG∥BC，∴=.

∴=，即AE·FB=EC·FA。

8如图1—7,已知矩形ABCD中,AB∶BC=5∶6，点E在BC上,点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FG⊥AE于G，求证:AG=4GE.

图1-7

思路分析：图中有直角三角形，应充分利用直角三角形的知识，设A