《离散型随机变量的均值》同步学案(学生版) (1).docx

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《离散型随机变量的均值》同步学案

情境导入

某书店订购一新版图书,根据以往经验预测,这种新书的销售量为本的概率分别为,这种书每本的进价为6元,销售价为8元,如果售不出去,以后处理剩余书每本为5元.为获得最大利润,书店应订购多少本新书?

自主学习

自学导引

1.离散型随机变量的均值

一般地,若离散型随机变量的分布列如下表所示,

则称________为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的________.

2.随机变量的均值是一个确定的数,而样本均值具有随机性,它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此,我们常用随机变量的_______去估计随机变量的均值.

3.离散型随机变量的均值的性质

若是离散型随机变量,为常数,则_________,________,________.

预习测评

1.已知离散型随机变量的分布列为

则的均值()

A.

B.2

C.

D.3

2.用表示投掷一枚质地均匀的骰子所得的点数,利用的分布列求下列事件的概率,其中错误的是()

A.掷出的点数是偶数的概率为

B.掷出的点数超过1的概率为

C.掷出的点数大于3而不大于5的概率为

D.的期望为

3.随机变量的分布列如下表(为常数),

则均值()

A.0.6

B.0.9

C.1

D.1.2

4.某一射击运动员射击所得环数的分布列如下.

(1)的值为______.

(2)此射击运动员射击所得环数的均值_______.

新知探究

探究点1离散型随机变量的均值

知识详解

1.离散型随机变量的均值的定义

一般地,若离散型随机变量的分布列如下表所示,

则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.

特别提示

1.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.

2.随机变量的分布完全确定了它的均值;两个不同的分布可能有相同的均值.

3.随机变量的分布描述了随机现象的规律,从而也决定了随机变量的均值;而均值只是刻面了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.

4.一般地,在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,,所以的数学期望又称为平均数、均值.

2.一般地,如果随机变量服从两点分布,那么.

3.求离散型随机变量的均值的步骤：

(1)确定取值:根据随机变量的意义,写出可能取得的全部值.

(2)求概率:求取每个值的概率.

(3)写分布列:写出的分布列.

(4)求均值:由均值的定义求出.

其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.

典例探究

例1同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有1枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数的均值是_______.

变式训练1有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若表示取到次品的件数,则()

A.

B.

C.

D.1

探究点2离散型随机变量均值的性质

知识详解

若是离散型随机变量,则(其中为常数).

特别地,

(1)当时,,即常数的均值就是这个常数本身.

(2)当时,,即随机变量与常数之和的均值等于的均值与这个常数的和.

(3)当时,,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.

典例探究

例2已知随机变量的分布列如下表:

(1)求的值;

(2)求;

(3)求.

变式训练2已知随机变量的分布列为

若,求的值.

探究点3离散型随机变量均值的实际应用

知识详解

1.实际问题中的均值问题

均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.

2.用概率模型解答实际问题的步骤

(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到哪个事件类型,所用的公式有哪些.

(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.

(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.

典例探究

例3某村为巩固脱贫成果,积极引导村民种植一种名贵中药材,但这种中药材需加工成半成品才能销售.现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择,为比较这两种加工方式的优劣,村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中,各自随机抽取了100件作为样本检测其质量指标值(质量指标值越大,质量越好),检测结果如下表所示:

已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如下表所示:

将频率视为概率,解答下列