几何专题05：与圆有关的压轴大题-备考2023年中考数学典型例题《考点.题型.技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）（解析版）.docxVIP

2023年中考数学典型例题系列之

几何专题05：与圆有关的压轴大题（解析版）

1．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知．

(1)线段与垂直吗？请说明理由．

(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：．

(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．

【答案】(1)，见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）证明（），得到，进一步得到，由△CFH是等腰三角形，结论得证；

（2）过点K作于点G．先证△AKG∽△ACB，得，证△KHG∽CHB可得，结论得证；

（3）过点K作点G．求得，设，，则KG＝AG＝GB＝3a，则，勾股定理得，，由得，得，，即可得到答案．

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，，

又∵，

∴（），

∴．

又∵，

∴．

∵

∴△CFH是等腰三角形，

∴．

（2）证明：如图1，过点K作于点G．

∵，

∴．

∴，

∴．

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴．

（3）解：如图2，过点K作点G．

∵点K为中点：

由（2）得，

∴，

设，，则，

∴，，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

2．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．

(1)求半圆O的半径．

(2)求y关于x的函数表达式．

(3)如图2，过点P作于点R，连结．

①当为直角三角形时，求x的值．

②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)①或；②

【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；

（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；

（3）①显然，所以分两种情形，当时，则四边形RPQE是矩形，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；

②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题．

【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．

∵切半圆O于点D，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，即半圆O的半径是．

（2）由（1）得：．

∵，

∴．

∵，

∴．

（3）①显然，所以分两种情况．

ⅰ）当时，如图2．

∵，

∴．

∵，

∴四边形为矩形，

∴．

∵，

∴，

∴．

ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，

则四边形是矩形，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由得：，

∴．

综上所述，x的值是或．

②如图4，连结，

由对称可知，

∵BE⊥CE，PR⊥CE，

∴PR∥BE，

∴∠EQR=∠PRQ，

∵，，

∴EQ=3-x，

∵PR∥BE，

∴，

∴，

即：，

解得：CR=x+1，

∴ER=EC-CR=3-x，

即：EQ=ER

∴∠EQR=∠ERQ=45°，

∴

∴，??

∴．

∵是半圆O的直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．

3．（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．

(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．

(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．

【答案】(1)2

(2)

(3)

【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；

（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；

（3）依题意得出点N路径长为：，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．

【详解】（1）∵

∴为的中位线

∴D为的中点

∵

∴

（2）过N点作，交于点D，

∵，

∴为等腰直角三角形，即，

又∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴，，

∴在中，；

（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合．当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：．

∵．

∴．

∴．

∴，

∴，

∴N点的运动路径长为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能