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学必求其心得，业必贵于专精

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专题探究

专题一互斥事件与对立事件问题

（1）利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．

（2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I。①事件A与B互斥，即集合A∩B＝;②事件A与B对立，即集合A∩B＝,且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B。

(3)对立事件是针对两个事件来说的，而互斥则可以是多个事件间的关系．

(4）如果A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，那么我们就说A1，A2，…，An彼此互斥．

（5)若事件A1,A2,A3，…，An彼此互斥,则P（A1∪A2∪…∪An）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An）．

应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率．

(6)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A)＝1－P（eq\x\to（A)）求解．

eq\x(应用1)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1～10,各10张）中任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3）“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是:

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，也不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件．

(2）既是互斥事件，又是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，这二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

eq\x（应用2)在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：

年最高水位

(单位：m）

[8,10)

[10,12)

［12,14)

［14,16）

[16，18)

概率

0。1

0。28

0.38

0。16

0。08

计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）［10,16）（m）；(2)[8,12)(m）；（3）［14,18）(m)．

解：记该河流某处的年最高水位在［8,10），［10，12)，［12，14）,[14,16)，［16，18）（单位：m)分别为事件A,B，C，D，E,它们彼此互斥．

(1)P（B＋C＋D)＝P（B）＋P(C）＋P(D）＝0.28＋0.38＋0。16＝0。82.

（2）P（A＋B）＝P（A）＋P（B)＝0.1＋0。28＝0.38。

(3)P(D＋E）＝P(D)＋P（E）＝0.16＋0.08＝0。24.

所以年最高水位在［10,16）(m)，［8,12)(m），［14,18)（m)的概率分别为0.82,0.38,0.24.

专题二概率与频率关系的应用

频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．频率本身是随机的，而概率是一个确定的数，是客观存在的，因此概率与每次试验无关．

eq\x（应用）下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题：

每批粒数

2

5

10

70

130

300

1500

2000

3000

发芽的粒数

2

4

9

60

116

269

1347

1794

2688

发芽的频率

（1）完成上面表格．

(2）估计该油菜籽发芽的概率是多少？

提示：（1）代入公式得频率，（2)估计频率的稳定值即为概率．

解：(1)从左到右依次填入:1，0.8，0。9，0.857，0。892，0。897，0。898,0。897,0。896。

(2)由于每批种子发芽的频率稳定在0。897附近,

所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897。

专题三古典概型问题

古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础,要掌握古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性．在应用公式P(A）＝eq\f（m，n)时,关键是要正确理解基本事件与事件A的关系,从而